fr-C, \+c„ l+c,l . l-*-c, 1h-c

par où il est aisé de voir , que la valeur de cette fonction déterminée par celle de G^, est composée de deux parties: l'une S.A^jf, S désignant le produit ( 1 c,) (l + c„) (1 h- c,„) .... (§ 88) , l'autre qui peut se mettre sous la forme

a cause des équations

B/Vc, . |/c,c„ .

sin.?, h — sin.y,, •+- etc

B,=^Bc,, B„ = ^Bc,c„, B„, = Ib0,c„c,„, etc.;

21/^ 2^ 2^ 1 -+-c,= , l-4-c„ = , l-4-c„,= , etc.:

donc la valeur totale de G, sera

B/Kc, . V c,c„ . Vc,c„c,„ . \ (a).G=SA (ft) *--^— sin. ?/ -»-— — sin. f „+ — sin. ? ,„-4-etc. j.

§ 93. On peut donner à la partie algébrique de cette formule, une autre forme qui sera plus facile à calculer dans certains cas. Pour cela , soit

'r,— r = ", y.- ~r, = w <> v.,.— = etc. :

on aura la suite d'équations

tang.u = 6tang.f , tang.w, =s à,tang. ? , = &,tang.(? +- w) , tang.«„ = 6,^^^,= o„tang.( y , «,) , etc. ,

par lesquelles on calculera successivement les angles « , «, , «,„ etc. Or , la valeur ?/ = ? + a donne

sin.?, = sin.? cos.a cos.y sin a — (1 b) sin.» cos.w = sin.? cos.cj = — — sin. 9 cos.o :

on aura de même

sin.?„= — — sin. ? , cos.w,^ -^zSin.pcos.acos.w,,

sin. — — — sin.f cos.wcos.w, cos.«„,

cv c,e„

etc. :

donc la valeur de G peut être exprimée par cette formule , dont la convergence est manifeste ,

G=SA (jt yr— iBsin.fCos.e^l-i-^c,cos.w,H-i c,c„cos.û),cos.«„-*-etc.j .

Dans le cas où ? = 3*-, la partie algébrique disparait, et on a, pour valeur dé la fonction complète ,

§ 94. Les suites qui composent la valeur de G, seront fort convergentes , si l'on a c a < £ , et alors trois termes suffiront pour donner la valeur de G, approchée jusqu'à sept décimales environ. Les mêmes formules pourront être employées avec avantage, quand même le module c serait beaucoup plus près de l'unité : car si l'on avait ,

par exemple, c = 0.985, il en résulterait à peu près c, = l/i ; d'où Ton voit qu'il n'y aurait qu'un terme de plus à calculer, c'est-à-dire quatre termes en tout, pour avoir la valeur de G avec le même degré d'approximation. Mais si c est beaucoup plus près de l'unité, ou si, ayant c* ^> £ , on veut obtenir un même degré d'approximation avec le moindre nombre possible de transformées , alors il conviendra de se servir d'une seconde méthode que nous avons appliquée également, en pareil cas, aux fonctions de la première espèce (§ 86).

Celte méthode consiste à prolonger dans un ordre inverse la série des transformées. Ainsi , l'équation entre G et G, qui donne

G, =- G-+-*Bsin.

s'applique semblablement aux deux fonctions G et G' , et on en deduit

G = G' iB' sin.

équation où l'on doit supposer

G'=/(A'-4-B'sin.V)^ , A' = A — | B', IV = ~ •

On aura pareillement , par des transformées ultérieures ,

G' =— — G"-+-*B"sin. ? ", G"= t-— 7. G'" -4- £ B'" sin./", etc. ;

mais, lorsque la suite G' , G" , etc. , sera prolongée jusqu'à un terme suffisamment éloigné G^\ on pourra faire = l , a V| ^ = cos. «W, et alors on aura

ce qui donne , en intégrant ,

6 W = ( A W + B W) log. tang.(4i>o + * sin. ? ( ^.

On obtiendra la valeur de l'angle ^\ en calculant, jusqu'au terme convenable , les modules croissants c', <:", c'", etc., leurs compléments

b\ b", 6"', etc., et les amplitudes décroissantes ?> etc., qui

seront données par les formules

sin. (2/— f ) =c sin. y , sin. (2/' — f) =s c' sin. / , sin. (V"— ?")=c" «in- ?" , etc.

Les compléments décroissants 6', o", etc., se calculeront avec facilité , en suivant une marche analogue à celle que nous avons indiquée au § 84. Posant, par exemple, 6=sin.A, on aura o'estang.^A : posant de nouveau o' =tang. , £A = sin.A', on aura b" =tang. a f a', et ainsi de suite , jusqu'à ce que le dernier terme de ces compléments b ([L \ soit assez petit pour que son carré soit négligeable. Alors, on pourra prendre c (|AÎ = 1, et calculant un pareil nombre de termes de la série des amplitudes ? ", y", etc., on aura le dernier terme qu'il faudra porter dans la valeur de G^. Faisant donc les substitutions nécessaires pour avoir la valeur de G en G^ , et observant qu'on a

7 = , etc. ,

on trouvera la formule qui suit, dans laquelle on a dénoté pars' le môme produit qu'au §86,

G = s' ( + BW) log. tang.(4* + Quant à la valeur de A^ -t- B (|4) , si on l'appelle I>> , on aura

cc ' c " "" " ccV / ...c ( ^- , \ comme il est aisé de le conclure des équations

B = * B'c , B' = i B'V , B" = * B" V , etc ; A=A'-4-iB', A' = A"-i- *B", A" = A'" * B'" , etc.

§ 95. La série qui précède est divergente; mais on peut lui donner une autre forme, en regardant comme composé de L = A B,

et de la somme des différences successives L ' — L , L" — L' , etc. On obtient ainsi

l»= A 5 + !5 + JL (1 C ") + etc. ;

c . ce cc'c' v

série que les relations

bVh'=,\~c y bVF=\-c\ etc.,

, iVbTc „ zyw #

permettent de remplacer par la suivante

V ecc ' ...c K ^ v

dont la convergence est manifeste.

On peut également rendre convergente la suite des quantités algébriques comprises dans la valeur de G. Pour cela, remarquons que

ar«p. y fr) ^sin. ? ^

et faisons , pour abréger,

M?) = ' — - sin. v

,jj V cc'c".... c^-o

2 V â^-'sin.^-^ — — sin. / — sin.

Vc Vcc' V cc'c"... c(*- 2 >

on déduit de là , en changeant p en fi — 1 ,

^ c ^sin.>> a^-'c^-^sin.^- 1 ) Vain.**!*-») Y(/i)-Y( i u-l)= — y

y cc'c". .j*-^ y cc'c n ... c^- 3 ) y cc'c".. c ^- a >

- 2 " fcW sin. ? W ^ sin. ^-'H ,

et, par suite.

*(«) - V(l) = JL sin. - ~ sio. v ' j , T(l) - Y(0) = A ^ sin . f • 1 5in . f j .

mais la formule (1) donne

/«v 4c" sin. . 2 sin. »'

(8) . . . 4(2) = — -sin. y--—: