K CC K C

éliminant 4(1) et 4^(2) entre les équations (2) et (8), on trouve

kc' 2c' "> Y (0)= ( — - — 1 ) sin. v ■+- / = ) sin. /;

(cVc 0

c"|/c7 |/c Vc

équation qui se réduit à

s (0) = c sin. f ,

en vertu des relations

Au moyen des substitutions successives de y(0) dans Y(l) , puis de 4(1) dans 4(2) et ainsi de suite, on aura, pour exprimer i (ju), cette série convergente

v[/t) = csin. $ h ( c' sin. / — —sin. y

4 / c' h — | c" sin. ^" sin.?' 1

y ce' \ c" ;

8 / , c" \ h- ( c"'sin. ? "' sin.*" j

Vcc'c" \ c'" )

au. / (u.— i) \

— =r( c'">sin. ? W-- w..y*-> ,

et la valeur de G, exprimée tout entière en suites convergentes , sera

(*)... G = S'L (|A) log.tang. (45° -M^) --Y^) ;

formule, dans laquelle les termes négligés sont de l'ordre S'L^o^ 3 » si tang. n'est pas d'une grandeur comparable à celle de (§ 87).

§ 96. Pour avoir la valeur de la fonction G quand elle devient complète, on pourrait faire f = 90° dans la formule générale (b) ; mais cette formule ne se simplifierait pas sensiblement, et contiendrait toujours un nombre de termes indéfini. C'est pourquoi, il vaudra mieux employer celle qui va suivre.

Soit f une certaine amplitude, telle que ^~ ,) = 90°: on aura, en rétrogradant (§ 82) ,

f l*~» = r, f ^-*> = 2t, etc. ,

et, par conséquent ,

remplaçant G(c, par sa valeur donnée par la formule (fc), il vient

mais , d'après ce que nous avons vu au § 87, lorsque = 90°, on a

tang.^=— =, sin.fW =■—==;

et, dans l'hypothèse où i^* est de l'ordre des quantités négligeables, cette expression de sin. se réduit à 1 — : on peut donc écrire

,„ B . tang . ( * . « . 16g . - * «-{à}

En môme temps, la quantité donnée par l'équation ( I ) , se réduit à

W^sin.^H-) *r*~« 8 i n .>-«>

y ce V. . . c^- 1 ) Vcc'c". . . c^- »>

àcausedesin.y^'^o, sin. ^~ 3) = o, etc. : et puisqu'on a

la dernière valeur de t(/u) peut s'écrire sous la forme

T(yu)= ^pr[$ sin. ? W - ^-oj .

remplaçant sin. par 1 — ^j/^, et substituant à V V 1 * - , sa valeur approchée 1 — fcW, déduite de la relation «Llii, il reste y(/k) = — , et finalement

(*) .... G^,-j = — log-jjjj-— •

§ 97. Les formules (a) , (a') , (o) et (o') , permettent d'obtenir une valeur aussi approchée qu'on voudra , tant de la fonction indéfinie G ( c > ?)» <l ue d e ,a fonction complète G(c, Pour les appliquer aux epsilon , il suffira de prendre

A = 1 , B = — c 7 ; d'où G = f^.

En dénotant par M , ce que devient A^) (§ 92) par ces valeurs de A et de B , l'expression de l'epsilon indéfini t donnée par la première méthode , sera

eps. (c, <?) = SMj? — - — sm. ?/ — - — sin.^,,-4- etc. , et celle du quart d'ellipse

Dans ces formules, la quantité M est donnée par la suite convergente

c 3 c 7 c, c*c,c„ M = 1 etc. ,

à laquelle on peut donner cette autre forme

en vertu de la relation 1 — — • .— =— - •

Les formules précédentes offrent les suites les plus convergentes qu'on puisse désirer pour la rectification de l'ellipse. Si le module c est assez peu différent de l'unité pour qu'on juge nécessaire d'appliquer la seconde méthode, il faudra faire A = l, B = — c* dans les formules du § 9b* ; ce qui donnera , en désignant par M' ce que devient i/^ par ces valeurs ,

ou plus simplement, parce que hyb' = 1 — c,

L V «' V eVV"...c<l'-')J

Quant à la valeur de 1', et à celle de la fonction y(/k) , elles ne dépendent point des valeurs de A et de B : ainsi, elles restent les mêmes que dans le paragraphe cité. On aura donc, d'après ces valeurs , la fonction indéfinie

eps. (c, f ) = s'M' log. tang. (48° h- cv(fi) ,

et la fonction complète

Comparant cette formule avec la valeur de D(c) donnée au § 88, on trouve pour M',

D Dl'

Au moyen de cette équation , le calcul de la fonction incomplète eps. ^ , s'abrégera par l'emploi des tables des fonctions complètes D et E.