CHAPITRE XI

Transformation du module dans les kappa et dans les upsilon.

§ 98. Si Ton appliquait la méthode des modules décroissants à la simple fonction kappa, la première transformée contiendrait une partie affectée de la fonction de première espèce dig. (c, y) : par conséquent, il convient, pour l'uniformité des résultais, d'admettre une forme plus générale , et de considérer la formule

J \ \ -\-n sin. y / a

C'est ainsi qu'au § 92 , nous avons traité des fonctions G au lieu des simples epsilon.

Après avoir écrit la formule précédente , sous la forme

\ n n 1 -hnsin. a ? / a

si Ton fait

sin.'f = i( \ h- c,sin.Y— cos.?,) ,

comme au § 92, on aura

.2 J \ n n ' \ + {n-*-{nc,s\nS 9 ,--! i n\,cos.< ? ,l a,

Dans cette équation , le dénominateur de la fraction principale contient le terme -£ma,cos. y,, qui parait empêcher la réduction de la

fonction H, à une autre fonction H, de la même espèce. Pour nous en débarrasser , nous considérerons ce dénominateur comme la différence de deux quantités , afin qu'en multipliant cette différence par la somme des mêmes quantités , on ait la différence de leurs carrés. Ainsi, nous multiplierons les deux termes de la fraction dont il s'agit, par le polynôme 1 -4- |n -4- |nc, sin. 3 », -4- |ni, cos. ? , , et nous désignerons par V le produit de ce polynôme par le dénominateur ; ce qui donnera , après réduction ,

ln-n-f- (ne, -4- in'c,H- £«'-4- £n'c, a ) sin.'y, = V.

Ce qui est vraiment remarquable, c'est que V ne contient aucune puissance de sin. y, autre que la seconde $ d'où l'on peut déjà inférer la possibilité de la réduction demandée.

En effet, ayant posé l'équation

(1-4-tt) ( I-4-n, sin. \,) = V,

en la comparant à celle qui précède, nous en déduirons pour n, ,

*», = 7^- (c, -4- £ ne, -4- *n -4- Inc;) 1 -4-n

[c, + n(£-4- \c, -4- le,*)]

et à cause de. c = — - (§80),

KJ ' (l + by (l-4-n) Alors , la fonction H deviendra

H 1- *" C ' /Ta B b l + in + in^sin.'^H-ini^cos.yA

~~ 2 \ "*~n" n(l-4-n) 1 +n, sin.'y, /

et si l'on fait , pour abréger ,

— : r (Ui»)=M, =N,

on aura

3 y L n \ l-f.n,sin. a 7 , /

A, COS. y,

1 +-n,sin. , î >J a, *

par où l'on voit que , si Ton pose