B, = M», — RN = |B

(i+Dj^l-Ms)* *

./ \ l-*-»,sin. a ? ,/ a,

on aura , pour première transformée ,

2 L ' l + nj l-f-n,sin. a ?/ J

Par cette formule , la fonction H(n , c, y) est ramenée à une fonction semblable H(n,, c,, ?,), dans laquelle les trois cléments n, c, y ont subi des changements propres à faciliter les approximations. Quant à l'intégrale qui entre dans son expression , on trouve aisément sa valeur

oVcOS.p, I — .

l-i-tt,sin. f ,

La même loi aura lieu pour les transformées ultérieures ; d'où résultera une suite infinie de fonctions H(n, c, , H(n, , c,, »,), H( w ,/î c //i ?/,)> etc «» te,les qu'une seule étant connue, on pourra déterminer toutes les autres. On trouvera de cette manière, en se rappelant que

et en désignant par S le même produit qu'au § 83

— ___. * B arctang. (l/j^sin. ?,) c 1 -+- n V'n,

VT„ £B, arctang.(|/ï^sin. ? ,,) ■ • ■ — • _____ . —

c c, U» ( Vl^„ série dans laquelle on a pris

§ 99. Posons, pour abréger,

et soit désignée par une quantité composée en c (fA) , o (ft) et n (fi) , comme k Test en c, b et n ; on aura

et pareillement

1 n ' *B iAB

Nous démontrerons tout à l'heure que B ( j s'évanouissant avec , l'intégrale H ((t j se réduit à

H W ==A (t i ) (,is '( c W^ ? (! t )) ,

et , par conséquent (§ 88) , à

x désignant toujours Tangle-limitc. La valeur précédente de H devient , pour lors ,

U = 2A (fA) x — — . * B arc tang.(l/^8in. y ,) c 1 n Vn,

arc tang.(V/»„ sin. w,,)

Vc, |/ë7 V 7 ^" Î**,B arc tang.(l/n, „sin. ?,„) — ■ • 1 • ' ■

c c, c„ 1 + »,, Vn,„ — etc.

Cette suite étant prolongée jusqu'au terme dont le rang est ^ inclusivement, Terreur de la formule mesurée par les termes suivants, ne pourra être que de Tordre c^ +1 j ; de sorte que , si Ton ne veut pousser la précision que jusqu'aux termes de Tordre j , on aura un terme de moins à calculer, tant dans la suite précédente que dans la valeur de S et dans celle de A^.

Les arcs de cercle qui entrent dans la formule générale (a) se changeraient en logarithmes, si n était de la forme — c 1 sin.'ô (§ «40) ; mais ce changement n'est sujet à aucune difficulté.

Lorsque ç = \r , tous les arcs de cercle disparaissent , et Ton a simplement H = £A^a\ Mais x est alors égal à \x (§ 83) : par conséquent , la fonction complète a pour valeur

H(n, c, \x) = SA (lt) iT.

On peut remarquer que la valeur de H , exprimée par les transformées successives, se terminerait d'elle-même si Ton avait une des égalités

A= 0, A,= 0, *„=0, etc.

En effet , ces égalités reviennent à

n=— 1 + 6, «, = — 1 -4- 6, , n„ = — 1 6„ , etc.,

et Ton sait qu'alors la fonction H se réduit à un digamma (§41).

§ 100. Nous avons vu au chapitre V, que tout kappa peut s'exprimer par un autre kappa ayant pour type du paramètre

*i = csin.O, ou n = — sin.'fl.

Soit d'abord

n=c sin.0,

et faisons n, = c, sin. 0, : en substituant à n et à », ces valeurs dans l'équation (1), on en déduit

c -+- sin. 0

sin. 0. = sm. 0.