t-csin

ce qui prouve que sin. 0, est non-seulement moindre que l'unité, mais aussi moindre que sin. 0. En effet , pour que cette dernière condition soit remplie, il suffit que l'on ait

c sin. 0 < 1 -4- csin.0;

inégalité qui revient à

( l — c) sin. 0 < 1 — c ,

et, par conséquent, à sin. 0 < 1 ; ce qui est toujours vrai. Ainsi, dans la suite des paramètres

n t n ,i n ,/> etc « j

chaque terme est non-seulement moindre que le terme correspondant de la suite

mais la première série décroît plus rapidement que la seconde. Soit maintenant

n = — c* sin.'0:

on pourra faire , comme dans le cas précédent ,

n,= — c* sin'0, ,

et l'angle 9, sera déterminé par l'équation

sin. 0 cos. 0

ce qui est la même loi suivant laquelle ?/ se déduit de ? (§80). A la série des modules

c, c, , c„ , etc. , correspondra donc la suite des paramètres

— c 1 sin.'O, — c/sin.'ô,» — c^'sin.'fl,,, etc.,

tlont chaque terme est , comme on le voit, beaucoup plus petit que le terme correspondant de la première suite.

La discussion qui précède nous ayant fait connaître l'ordre de grandeur du paramètre , venons à celui du coefficient B (f ^. D'après la valeur de cette quantité, elle est de l'ordre it^ ^ , et d'après l'expression de * en n, il est évident que k^,) est au plus de l'ordre w (u-i)* Ma,s si lon a n = — c a sin.'fl , on a aussi

%-.) = — c V-o sin -'V-0 ' H comme c Q ^^ est de l'ordre , en vertu de l'équation

il s'ensuit que , dans ce cas (qui est celui des kappa logarithmiques), > n (tt— i) * i) et ^i» deviennent négligeables en même temps.

Il en serait de même si le type du paramètre étant n—c sin. 9, on avait sin. 0=c, ou sin. 0 < c. En effet, d'après la loi de progression des angles 0 , 0, , 6„ , etc., leurs sinus décroissent plus rapidement encore que les modules c, c,, c„, etc. Si l'on avait sin. 0> c, il suffirait de calculer un terme de plus dans la série (a), et dans celles qui en dépendent , pour atteindre le même degré de précision.

§ 101. Pour transformer les valeurs de n, et de h de manière à les approprier au calcul logarithmique , soit A un angle auxiliaire tel que

sin. A — — :

d'où

ce qui est possible |>our les deux types du paramètre

n = c sin.fl , et n = — c 1 sin.'fl :

si Ton fait pareillement

stn.'A,

l'angle A, se déduira de l'angle A par cette formule, aussi simple qu' légante,

( 3 ) tang. i K = ~=l >

et le paramètre », se déduira de n par la relation

C, COS. a A

Des équations (2) et (S) on tire sur-le-champ

1 -+- n = b cot.^A, ; par où la valeur précédente de k devient

(1 + ») a — A 1 1 col. 1

cl , ii cause de

on peut écrire

k cot* a £*, - tan g.^A , 46 col.',} A,

Mais les formules trigonomélriques

(1 cos. A,) 3 (1 — COS. A,) 1

cot.'R = - . tang.'*A,= - — ,

sm. A, sin.A,

donnent

4 cos. A,

col. *A, lang.^A,= - T -— - ; '

sin.

par conséquent

b; cos. A b; sin.'A

k = — • = — • cos. A, ;

b sin.'A^ot.'K A 1 sm.'A,

d'où