COS.A^OSA

c c, c„ 8 Vn„, ■+■ etc.

§ 102. La formule d'approximation que nous venons de donner pour déterminer la valeur des fonctions H , peut s'appliquer à tous les cas , et le plus souvent il ne faudra calculer que fort peu de termes pour obtenir un grand degré de précision. Cependant, si la

différence 1 — c est assez petite pour que 6* puisse être néglige , on . pourra intégrer immédiatement la formule

J V 1 -i-nsm. a y/ a

en mettant cos.? au lieu de A , ce qui donnera

B arc tang.(|/n sin. r ) 1-4- n Vn

H= ( A + — — )log.tang.(4S°-+- v ) \ Un/

Cette intégrale est rigoureuse lorsque c=l; mais s'il y a une différence, quelque petite qu'elle soit, entre 1 et c, elle ne pourra s'appliquer sans erreur , à des valeurs de ? plus grandes qu'une certaine limite. En effet, la quantité a qui, en général, est y cos.'^-t- 6*sin. J v, ne se réduit à cos. y que lorsque cot. y est censé beaucoup plus grand que o. C'est pourquoi , il convient de chercher une formule qui donne la valeur de H pour toute valeur de toujours dans l'hypothèse qu'on puisse négliger les termes affectés du facteur b, élevé au carré ou à une puissance supérieure.

Pour y parvenir , j'écris la fonction H sous la forme

H=(A + T i-)di g .(o, v )-

et il restera à détermiuer P par la formule

J (1 -4- n sin.\)A

J'observe ensuite qu'on a

COS. f A'sin.'y

donc , si l'on fait

2rf* cos * r sin. 1 ?

\ n siu . a - r ) ^ (cos. - r -t- jv ) on aura

arc tanrc. n sin.o) 1

ainsi, tout se réduit à trouver une valeur approchée de l'intégrale Q. A cet effet, j'observe qu'on a cos. ? -+-a<2a , et cos.y-*- A> 2 cos.* : donc , si l'on fait

Q , = r Jl^£l Qff== f d ? cos. ? sin.' ?

J ( 1 + n sin.» a ' J (1 + n sin.^) (1 - c'sin.» '

on aura Q < Q' et Q > Q". Or , en premier lieu , la combinaison des intégrales P et Q', donne

(l+»)Q' + r=/^ ; d'où résulte Q-='" 8 -( C ' f) - |> ;

donc on a

p ^ arctapg.(V/n sin . ? ) &

ou en écrivant, dans le second membre, au lieu de P sa valeur donnée par l'équation (4) ,

(5). P> — j dig.(c,v) Qj

inégalité dans laquelle on pourra négliger le terme en b*.

Cherchons maintenant la limite supérieure de P. On trouve, par l'intégration directe de la valeur de Q",

(c -*-n)Q =— log.( -arctang.(Knsin.y),

2c — csin.yj \/n

ou (en rejetant les quantités de l'ordre 6% qui n'en produiraient que de l'ordre b* dans P, lors de leur substitution dans l'équation (4),)

\ 1 i Z 1 + csin.aN 1 (l-f-n)Q =-log.[ j -arclang (l/«sin. ? ):

2 \ 1 — csin.a / Vn

donc on a

(0). P < ( 1 t Y ™ lan ff-^ » sin -0 ^ ( / 1-4 csin.^ V 1-» «/ V y n • 1^ n \ l-csin. ? /

La plus grande différence entre les deux limites de P données par les inégalités (5) et (6) , a lieu lorsque ? = 90°; et comme on a , dans ce cas ,

cette différence est égale à £ Iog.2. Ainsi , elle est de l'ordre-des quantités qu'on veut négliger, et l'on a , avec une exactitude suffisante,

1 y ^ P = — — arc tang.(K n sin.*) dig.(c, - r ) ;

ce qui donne, pour la fonction cherchée,

/ B \ B arc tang.{l/n sin.*)

H =( Ah- |dig.(c, ,) — >

\ \.+ nJ 1 -4- n Vn

et , pour la fonction complète ,

n \ A B arctang.(^n) - j=( Ah- jlog. -

n j b 1 -t- n Vn

§ 103. Les valeurs précédentes sont celles qu'il convient d'employer si la différence ± log.2 est assez petite pour être négligée , et c'est ce qui a lieu chaque fois que n est positif , ou de la forme n=cot.'0; mais il n'en est pas toujours de môme si n est négatif. Le cas de n = — c* sin.'O, ne souffre aucune difficulté si 0 n'est pas trop près de 90°, parce qu'alors reste une quantité très- petite :

seulement , il faut changer alors l'expression " c (tang ' ~ Vn ?) en

VU

celIe - ci: S71CT H-i lVcTn.b ^)- Mais si > en même temps , 0 est Irès-près de 90°, le dénominateur 1 n équivalant à ir-j- c'cos.'O, devient très-petit. Cependant, tant que cos. 0 est beaucoup plus grand que b, la fraction ~^ ou ù%+ ^ eot ,g > reste trèé- petite, et la méthode précédente est applicable; mais si cos. 0 est une quantité très -petite de l'ordre 6, ou d'un ordre supérieur, la fraction -j— cesse d'être négligeable. Pour obvier à cet inconvénient, il faut recourir au § -41 , où l'on a vu que tout kappa qui a pour paramètre « = — c' sin.'O , peut élre transformé en un autre kappa ayant pour

paramètre »i= — c'sin.'A, pourvu qu'entre les angles 0 et Aon ail la relation b tang.0 tang. A = 1 , qui revient à (§ 19)

donc, des deux facteurs , , il y en a toujours un plus petit que b; d'où il suit, qu'à l'aide de la transformation de kal. (0,c, en kal. (a, c, si elle est nécessaire, l'erreur de la formule n'excédera pas les quantités de l'ordre b. Dans le cas le plus défavorable , qui , est celui ou 1 n-n = 1 m = b, l'erreur absolue sera égale à £ b log. 2; mais alors la fonction complète a pour valeur

/ B \ h l A+ 2o) lo &-6- :

par conséquent , Terreur relative , qui a pour mesure le rapport de ces quantités, ne s'élèvera qu'à l'ordre o a .

Lorsque n = r^—r « la fraction est négligeable, si tang. 0 n'ex-

cède pas l'unité : dans le cas contraire , on ramènera le kappa proposé au type n = — c'sin.'fl, que nous venons de discuter.

Lorsque n — — 1 + o'sin.'O , on élude la difficulté au moyen de la formule (o) du § 38, qui sert à transformer tout kappa circulaire dont le paramètre est négatif, en un autre kappa, à paramètre positif.

§ 104. Lorsque le module c n'est pas assez voisin de l'unité, pour que fc' soit de l'ordre des quantités négligeables , on pourrait croire qu'il convient de recourir à la méthode des modules croissants, comme nous l'avons fait pour les digamma et les epsilon. Mais les formules auxquelles Legendre est parvenu par cette méthode, sont si compliquées et d'une convergence si faible , que cet habile calculateur conseille lui-même de s'en tenir à la méthode des modules décroissants, quand bien même il faudrait calculer quelques modules et quelques amplitudes de plus , pour obtenir l'approximation désirée. Nous ferons observer, en outre, que si le kappa proposé est circulaire , on pourra toujours le faire dépendre d'un autre kappa du module b (module qui sera d'autant plus petit, que c sera plus grand), au moyen des formules (e) ou (*»') du § 50. Si le kappa est logarithmique,

on le réduira à deux upsilon , que Ton calculera, dans tous les cas , avec autant de facilité que les fonctions elliptiques de la seconde espèce, par les formules qui seront données ci-après. Ainsi , Ton pourra toujours se dispenser d'appliquer la méthode des modules croissants , aux fonctions elliptiques de la troisième espèce.

§ 1 05. Il existe pour les kappa circulaires , une propriété analogue à celle dont jouissent les angles des paramètres successifs *, w, , n- f1 n,„, etc., pour les kappa logarithmiques (§ 100). Soient

n = c a tang.'A, n, = c, a tang.V :

si Ton fait

tang.'A = — sin.'ft, tang. 7 /* = — sin.'f,

les deux fonctions kap. (n,c,f), kap. (», , c, , j,) , de circulaires deviendront logarithmiques , c'est-à-dire qu'on obtiendra

kap. (c' tang.'A, c, y ) = kal.(a, c, y ) , kap.tc'tang.'^c,, ?,) = kal.(C,c,, ?/ ) :

par conséquent , l'on aura , entre les angles a et C, la relation

(7) dig. (c, a) = — — - dig. (c, , G) ,

dont la traduction algébrique est

(l + o) tang. a.

tang. C — — -4 Vi

1 — o tang. «

ce qui donne, en mettant au lieu de tang. a et de taug. C leurs valeurs^— I sin. A et K — 1 sin.

( 1-4- b) sin. A 1 h-o sm. a

Mais on a aussi (§28)

dig. (c, a) = V^\ dig. (6, A), <%• 0 = <lig;(o,, A») :

il vient donc, en remplaçant ces quantités par leurs valeurs dans l'équation (7),

dig. (b, A) = — ^ dig. (o,, ^).

En comparant cette équation à celle qui lie dig.(c, - t ) à dig. (c,, ?/ ), on a la proportion

dig. (6, A) : dig. (b,,n) \ \ dig. (c, ?) : dig.(c,,

par où Ton voit qu'il serait très-aisé de conclure l'angle fi des angles A, et à l'aide des tables de digamma.

On peut observer que les modules complémentaires remplacent , en partie , les modules primitifs , dans ce qui concerne les kappa circulaires. Cette remarque , jointe à celle que nous avons déjà faite au § 59, semble indiquer que ces transcendantes sont réellement d'une nature plus composée que les kappa logarithmiques. On trouvera au chapitre XIII , une nouvelle confirmation de celte conjecture.

Remarquons aussi qu'il résulte de l'équation (l), que si le paramètre de la fonction proposée H(n, c, f), est de la forme «= — 1 -i- i'sin.'fl, celui de la transformée H(n, , c, , y,) est positif.

§ 106. La transition des kappa logarithmiques à la fonction upsilon, est trop naturelle pour que nous ne cherchions pas à vérifier, si la double méthode des modules ne s'appliquerait pas avec succès au calcul de cette transcendante. D'abord, en faisant A = l, B=c , sin. a 0, «= — c'sin.'O, la formule (a') du § 101, devient

kal.(0, c, v )=2A (ft) x

1 t'sin. a 3l-+

f 1 /l+c,sin.9,sin.O log.

, sin.9, \\ — c,sin.Q,sm. ? ,J

1 £cos.A / 1 -+-c,,sin 0,,8in. v„ \

• lo 8'i i

Vc,c„ sin.G,, V l -c,,sia.0,,siii. ? ,,/

1 Jco:î.A,cos.A / / l-f-cî„,sin.9, ( ,siii.v

Vc,c tl c,., sin-0,,, \^ l— c,„sin/;,,,siii. ? ,,, > /

•\- etc. :

^(n) représentant la série

l-*--COS.A,+ - COS. A, COS. A,, -f-

-'c' sin. ? $ \ 2 -*

' ... — - COS.A,COS.Â.,COS.A cos.A^ i)

et les angles A„ A,„ etc., étant donnés par la formule générale

dans laquelle désigne, par abréviation, le radical A ( c (u,)»A a ))»

Nous avons déjà remarque que 0, se déduit de.0 suivant la même loi que ç>, se déduit de ? ; d'où il suit , que si 0 = y, on a aussi 0 / =y / , ô„ = ? „, etc. Or, d'après l'expression de T(?) donnée au § 67, il vient, en écrivant ? au lieu de 0 dans la valeur précédente de kal.(0, c, f), dans celle du coefficient général cos.A (fl) , et dans celle de

— i log.(l — c a sin. 4 ? )— ^cot.- r 2A ((t) jr

1 sin.ycos.5,

V c, sin. ? , \ 1— c,sin. a ^/ 1 1 c,cos.y, I

log.

Kc,c„ 2 A, sin. ?/ , 1 1 c,cos. ?/ c //C os. ?// 1