CHAPITRE II
mucion *, la aWrenHeUe ^ a n X fonCion, eUipt^. « fication de ces fonctions. — Réduction de la différentielle 5^.
§ 6. Puisque , par une première préparation , on peut faire en sorte qu'il n'y ait pas de puissances impaires de la variable sous le radical , nous ferons toujours
ce qui peut se réduire encore à la forme
en observant que
V V-4-/3V-*- = Va' X / l -, *' 21
ni
Cela posé , nous allons prouver d'abord par l'cnumération des différents cas , que la différentielle
dx dx
/>ewf toujours se ramener à la forme
mdf
|/l — c a sin. 3 $> '
où /'on a c plus petit que Vunité.
Nous poserons en général
p étant toujours censé plus grand que q.
Toutes les combinaisons de signe de 1 , 0 et y sont au nombre de huit
(2) .... I -4-#r a — y**=(l -f-p'ar'XI— 1 ^-(p'—a'^'-p'a^
(3) ....l-&r , -+-yar 4 =(l— J>\r')(l — 9 ^')= I—^'hY 0 >*4,
r .-r 4 =(l— pV J )(lH-o^)= I— (p'— o>'— py* 4 ,
(5) . — 1 -4- fa? h- ?* 4 =(1 ? 1 )=— 1 (/J-î'K+p'î' 3 ' 4 »
(6) . — I -f- fa''— yjr 4 =( 1 — q 7 x J )(p*s*— 1 )=— 1 -*-(/>' -4- g'k 3 — p^q*x*,
(8) . 1 fa*— r x 4 =(— 1) (1-h/3x ? -+- yx*) .
Nous ferons abstraction de la dernière combinaison qui suppose le radical essentiellement imaginaire et qui rentre du reste dans la première.
Voyons dans quels cas ces équations hypothétiques donnent pour p et q des valeurs réelles.
Les combinaisons (2), (4), (S) et (7) donnent pour déterminer p et q les équations de condition
p' — q 1 = & > /> Y = r, d'où
Ainsi p et g sont essentiellement réels , si l'on donne au radical V i^-hylesigne -i-.
Les combinaisons (i), (8) et (6) donnent lieu aux équations
d'où
|,'=i(/ÎH- V/0'-4 r ), g a = *(/î-l/>-4y);
il s'ensuit que, pour la réalité de p et de g, on doit avoir (T — 4y>o .* chacune de ces combinaisons offre donc deux cas différents
(!').... 1-4- 0x' -4-yx* (3' ) . . . . 1 — fa % yx*
(6') . . . .—1 -4- /3* a — yx<
(i") .... I h- fa y yx 4 (3") .... 1 — fa* yx* (0") ... .—1 /a** — yx 4
avec
avec 0' — 4><o.
ion de (2) et de (4). — La limite de x dans (2) étant
- , on fera
* = - cos. o> et = c 3 ,
ce qui donnera
rfj? c — df
mu , - mm m ■■ . ■ ■ ■ — ^» •
R P sin.'f
La combinaison (4) se ramène à la précédente en changeant simultanément p en q et q en p dans chacun de ses facteurs. Sa transformée sera donc la même, mutatis mutandis.
Transformation de (5) et de (7). — On fait
p cos. ? p* + g 1
et I on a
R P 1/1 — c' lin.' f
La combinaison (7) se déduit de (5) en changeant p en g et g en p. On posera donc
q cos. y p* h- g*
et la transformée sera
dx c df
R ? |/1 — c a sin.> Transformation de (V). — En posant
x = - tang. f , — ^— = c' ,
il vient
cto l rfy
R P V\— C sin.>
Discussion et transformation de (3'). — Pour que le radical R soit réel , on doit avoir simultanément
1— />V >o, l-çV>o; ou l-pV<o, l-çV<o:
c'est-à-dire
*<-,*<-; ou x >-,#>- .
Puisque/) est par hypothèse plus grand que q, ces quatre inégalités se réduisent à
X < - ou X > -•
La formule
servira donc depuis x = o, jusqu'à x = ^ , et
(3') = (/>'*'- 1) depuis jusqu'à x = co . Dans le premier cas on fera
x — - sin. », - = c ,
et l'on aura
<fo 1 df
R P l/l — c'sin. 1 ?
dans le second , on posera
sin. y p
et la transformée sera
dx — dy
la même, au signe près, que la précédente.
Discussion et transformation de (6'). — Le radical sera réel si l'on a simultanément
l-^V>o, p'x* — 1 > o, ou l-gV<o, px 1 — l<o, c'est-à-dire
Or, la seconde hypothèse
est visiblement absurde , puisque q étant moindre que p, si x surpasse il surpasse a fortiori X -, Soit donc fait
on aura la transformée
dx l
R P |/1 c l sin. 3 y
Discussion et transformation de (1") et de (3"). — Les quantités f et étant imaginaires , les méthodes précédentes deviennent inapplicables.
On traitera les deux combinaisons simultanément en posant 1 zk. flx* -+- ?x* = 1 -f- COS. ô fl*X* | ce qui donnera
u — : et cos. d = zfc —
On fera
* = l/J • tang. { f , et prenant c = sin. \ 6 , on aura la transformée
tf* 1
Discussion de (6"). — Le radical
pouvant s'écrire sous la forme
V~~ï- V\ — (Sx 1 + yx*,
la transformée de (0") sera celle de (3") multipliée par ~ÇÏ~ X , ct P ar conséquent imaginaire de sa nature.
On pourrait démontrer a priori que le radical est essentiellement imaginaire, en posant 0* = Ky cos. 4 *; d'où
R = l/l H 2i/ r cos.'fl. a? 1 — yx* , valeur dont la réalité dépendra de l'équation de condition
2 V/ycos.'ô.s 3 > 1 y* 4 , ou 1 — 2 î/ycos.'ô.a?* -f- y* 4 -»- A 2 = o = ( 1 — l/y) 3 -f- 2*' l/y"sin.'* -4- A\
Cette dernière équation étant une somme de carres, il est impossible d'y satisfaire par des valeurs réelles de la variable.
On peut remarquer maintenant que les valeurs de x\ qui opèrent la réduction de la transcendante , sont au nombre de sept , savoir
1 , , 1 a sin.>
