sm.V 1 — sin

/ftm / ^ / 1 \ sin.X,-, sin.'£,

V ' V ' ' l+cul.'tf.sin.'* l-t-cot.^-asin.^'

qui, jointes aux suivantes

m ^,,s , sin.'C. sin.'C„ a

C^amp.- D A , ^------J — ^— ,

p sin. sin.'Ç,

offrent un nouveau système de transformation , pour passer de la relation

dig.(c, - r ) = ft dig.(*, 4) entre les modules c et à la relation

(28) dig.(c,») s =-î 7 dig.(*,rt,

qui ne diffère de la précédente que par l'amplitude du premier digamma, et par le régulateur. Il faut remarquer aussi , que l'équation (12) devient actuellement , par les changements simultanés de k en b, de c en /*, et de «,„ en Ç„,

h —h p &vti. A C l sin. 4 £ 3 sin. 4 £ 5 sin. 4 ^ a .

On a fait voir , à propos des équations (21) et (22), que les deux amplitudes parviennent en même temps de zéro à 90° : il en est de même des amplitudes $ et o. Prenant donc, à la fois, t = {r et «=^t, on aura

D(*) = /*'D(c); mais on a déjà trouvé, par le corollaire II ,

D(c)s=Aff»D(*) :

donc on a , entre les régulateurs (x et la relation générale

ppft' = 1 .

Maintenant , si l'on combine les deux formules

di &-( c >?)=j" di S-(*>rt> ==-"'dig.(c, «),

on aura

dig.(c, ? ) = /^'dig.(c, «),

ou

dig.(c, w )=jt)dig.fc, ? );

formule qui contient la loi de multiplication des digamma , par un nombre impair quelconque p.

§ 1 19. Corollaire V. On peut demander ce que devient le théorème de M. Jacobi , lorsque p est infini. Dans ce cas , soit c un module donné et b son complément : le premier membre de l'équation

ayant une valeur finie , il faut, pour qu'il en soit de même du second , que D (h) = co ; d'où h = 1 , k = 0 , et , par conséquent , D {k) = ï« La formule

D(6) = acD(A)(SH7), .

donnant alors = 0, les transformations qui dépendent de ce régulateur deviennent impossibles; mais il n'en est pas de même de celles qui dépendent du régulateur

En effet, la valeur de ^ étant (§ 118), on aura

et puisque £„, = amp. ^ D (h) , il viendra Or, h étant égal à l'unité , on a aussi

comparant ces deux valeurs de dig.{A, C„,), et posant, pour simplifier,

on en déduit les équations suivantes «

l-*-sin.>.cot.£„ ( / l — <y w "V l-2o"*cos.2i