I-vsin.^.cot.X., ~~ \ 1-9"* / 'l-â^-'cos

Faisant alors , pour abréger,

A — • - • etc. ,

la formule (25) devient

(29) sin. a =

2D(c) . 1— So'cos.^+g 4 1 — 2g 4 cos.2;-+-o 8

• A', sm. -y. • - — — • etc.

x 1 — 2q cos.af-t-g 7 1 — 2g 3 cos.zH 3°

Puisque l'hypothèse p s co , donne 0 , et, par conséquent , dig. (k, ^) = >i> , l'équation (28) se change en

> = ^'di{î-(c, W ) = — -dig.(c, u);

par où l'on voit que la formule (29) détermiue algébriquement le sinus de l'amplitude, lorsque le digamma et le module sont connus (*) . A la vérité, elle renferme les fonctions D(c) et D(6) ; mais ces quantités très-aisées à calculer d'ailleurs, sont données par les tables de Lcgendre avec la plus grande précision : de sorte qu'on peut les regarder comme des constantes analogues aux logarithmes et aux lignes trigonométriques.

(*) Nous dominons, par la suilc . une formula plu» simple cl plus élégante, pour 'résoudre le même problème.

Voyons, maintenant, ce que deviennent les deux formules (20) et (27). La supposition de p — co, rend égales à l'unité toutes les quantités de la forme sin. G p — m ; car l'on a

<%. (h, e,- m ) = P —— D(A) = £— di 6 . [h , 5 ) ,

et puisque p est infini, il s'ensuit que

— — = 1 7 diç.(h, C p - m ) = dig. U, -1 ;

d'où

Cp-m = - , Sin. Çp^ni = 1 , COt. Cp-m = 0.

La même hypothèse donne aussi ^) = 1 , puisque k devient nulj comme nous l'avons fait voir au commencement de ce paragraphe. Les deux formules dont il s'agit pourront donc s'écrire sous la forme

1 — cos.X sin. 3 4 1 — cos.'C sin. a i>

cos. w = cos. 4. • — - • — '— - — ^ • etc. ,