cot. S l sin. V 1 •+- cot. 5 £ 3 sin

' . 1 — cos.^, sin.'i I — cos. 2 ^ sin.>

a(c, u) — ■ 1. etc. :

v 1 -t- cot. 3 £, sin. 3 i/ 1 cot.'ff 3 sin.>

mettant à la place de sin.' J i, la valeur £(l — cos.2i), et substituant les valeurs précédentes de cos.Ç,, et de cot.'b m , on obtiendra

.... l-t-2g r, cos.2*+g 4 l-t-2a 4 cos.2i-f-o 8

v ' v 7 1— 2çcos.2*-t- 3 3 l-2g s cos.2^9°

les coefficients B et C ayant pour valeurs respectives

~~ TT9 7 "T^Y '"HTo»' '

r 1 ~ g ^-g 3 9 5 Aln t, = ... . etc.

§ 120. Corollaire VI. Au moyen des formules données dans les §§113, 114 et 115, on transformera dig.(c, ç.) en une autre fonction dig. (k; •;) , dans laquelle on a A < c. On passera de la même manière , du module k à un module plus petit k, , et ainsi à l'infini ; ce qui formera l'échelle des modules, dans l'ordre décroissant, c, k, it a ..., jusqu'à la limite zéro. Cette suite peut être continuée à l'infini, dans l'ordre inverse, au moyen de l'équation (12), qui permet de déterminer le module c par le moyen du module plus petit k [voyez la . note Vil), On déterminera donc sembiablement le module c, , par le module plus petit c, de même c 3 par c, , et ainsi de suite ; ce qui produira , pour tout nombre impair />, une échelle de modules infinie dans les deux sens, ainsi représentée :

lim. 1) c 3 , c a , c,, c, k, k,, k,, * 3 , (lim. 0,

et la fonction donnée dig. (c, ? ), pourra être transformée en une infinité d'autres, qui auront pour modules les différents termes de cette échelle.

On a vu, par le corollaire III , comment on peut passer de la fonction dig.(o, <x), à la fonction dig. (A, r) , qui a le môme régulateur fjc que dig. (k s ^) dans l'échelle précédente. Celle-ci étant formée, il suffit de prendre les compléments des différents termes, pour former une seconde échelle , qui marche en sens contraire de la première , comme on le voit ici :

Dans l'ordre naturel de la première échelle , le module k est donné en fonction du module plus grand c, par l'équation (12) : dans la seconde échelle , au contraire , on se servira de la même équation , pour déterminer le module h au moyen du module plus petit b.

§ 121. Corollaire Vil. Si l'on voulait déduire l'échelle de modules de Lagrange, du théorème de M. Jacobi, il faudrait assimiler entre elles les équations

dig.(c, f ) = ^dig.(*, i) t - (32) dig.(c, ? ) = -l^dig.(r,,,,),

dans lesquelles k et c, sont tous deux moindres que c. Ainsi, Ton aurait

mais , d'après l'équation (12), on a

Ksin.^.sin^jtj .... siu. 4 .* a l'accord de ces deux valeurs de c exige donc que

p = 2 , sin.'^sin.*^ .... sin.'^^ = ;

ce qui prouve l'impossibilité de la déduction cherchée , car le théorème de M. Jacobi, suppose nécessairement que p soit un nombre impair. Cependant le nombre 2 joue, dans l'ancienne échelle, un rôle analogue à celui de p dans les nouvelles. En effet , l'équation D (c) = ppD[k) du § 116, donne également p = 2 , quand on prend k = c,, / u=^ : — ; et l'on peut remarquer que la relation = Z—Adu % 89, est tout-à-fait semblable à celle qui lie les modules c'et k à leurs compléments h et h ( § 117 ).

Par la formule (17), qui se rapporte au théorème de M. Jacobi, le sinus de l'amplitude cherchée s'exprime toujours d'une manière rationnelle, en fonction du sinus de l'amplitude donnée; c'est-à-dire que l'on déduit rationnellement sin.^ de sin.y. Cette propriété a son analogue dans l'échelle de Lagrange, mais dans un sens inverse; c'est-à-dire que c'est sin.y qui se déduit rationnellement de sin. ^. En effet, nous avons trouve au § 105, les relations simultanées

(l -+- 6)sin. A

di C .(4, A)=-^di 8 .(i,,,<):

si l'on remplace c, par sa valeur t v, 'ent

d'uù

dig.(o,, fi) = (l *>)dig.(A, A).

Observons que les modules 6, et 6, appartenaient à une échelle qui supposait c, < c, et , par conséquent, &,> 6. La loi qui lie le module b, au module plus petit fc, étant la même que celle qui lie c à c, (5 89) t nous aurons, en écrivant c, c, , ? et l, au lieu de J>, , 6 , <cc et A ,

sin. c = — . ,

1 +c, sin.'j,

dig.(c, ç) = (l+c / ) dig.(c„

On peut remarquer qu'en vertu de l'équation (32), l'amplitude i» est telle qu'on a la relation

*) = i dig. (c,, ?/ ).

La formule ~j = /> —j , qui s'applique non-seulement à tous les indices impairs, mais encore au cas de p = 2 , peut être considérée comme représentant, sous forme transcendante, l'équation algébrique qui existe toujours entre deux modules consécutifs c et k, c étant le plus grand des deux. Celte loi est générale, car elle s'étend même au cas où l'on suppose l'indice/) fractionnaire. ( Traité des fonctions elliptiques , tom. III , § VIII).