CHAPITRE XIII

Des transcendantes 0, A, Cl et T.

§ 122. Parmi les corollaires du ihéorème de M. Jacobi, nous avons remarque la formule (29) (§119), qui détermine algébriquement l'amplitude , lorsque le digamma est connu. Dans celte formule , on a

A = — • — • . etc. :

et , si l'on écrit ? au lieu de » , l'amplitude $ <%• { c > a ) d«-

x 2D(c) viendra égale à dig. (c , expression que nous avons désignée

par s au § 83 , et qui donne

par où la formule précitée pourra s'écrire sous la forme

/2D \ 2D . . . 1— 2<7*cos.2r-H7* 1— 2<jr 4 cos.2*-»Y

qui renferme de nouvelles transcendantes , dont nous aurons bientôt à nous occuper.

§ 128. Commençons d'abord par déterminer, sous forme finie, les coefficients À , B et C du § 1 19. Pour cela , nous écrirons les trois

formules (29), (§0) et (31), sous la forme

/2D.r\ 2D I— 2o'cos.2.r-+-a < 1— 2g 4 cos.2jr-4-û»

1 ). ..sin.amp. = — A'sin.a; — ^ \ — — -±t etc.

\ r j 77 1— 2g cos. Zr-+-g 1 — Zg-'cos.îLF-f-g 0

(ÎDx\ l-H2g'cos.2x-t-g 4 1 -4-2g 4 cos.2x-+-g 8

(2) ...cos.amp =B'cos. x - — — 5-= â r el c*

\ jt j 1— 2gcos.2.r-»-g I 1— 2g 3 cos.2.r-t-g 6

/2Dj"\ „ 1 -4- 2g cos. 2*-*- g 5 1 -+-2g*cos.2.r-*-g 6

(3) .... iamp, = C'.- — - Vl — V etc - i

v ' » 1 \ r j 1— 2gcos.2x+ g a l-2g 3 cos.2j?-+-g 6 '

et nous ferons observer que, si Ton fait s = \ dans ces trois équalions, la première donne pour A , cette nouvelle valeur

A= ,,i.-L^.i±i!.ijL!\ etc.; \2Dj l-*-g* ln-g 4 ln-g 6 '

la seconde devient 0 = 0 ; et la troisième , dont le premier membre devient égal a b, donne pour C ,

C = |/Â.i±^.!±L! 3 .L^.etc.

L'évanouissement simultané des deux membres de l'équation (2), nous empêche d'obtenir une valeur analogue pour B. Pour lever cette

cos. amp.^— -x J

difficulté, nous chercherons la valeur vraie de la fraction ,

' cos..r

dans l'hypothèse de x = £ : après avoir différentié , à cet effet , le numérateur et le dénominateur, en remettant au lieu de amp.f^^-) sa valeur ? , et en observant qu'on a sin. y = 1 , sin.x= 1 , nous obtiendrons

d . cos. ? sin. ^dy dy d.co&.x s\n.xdv dx 1

mais en différentiant l'équation dig. ? = — x, il vient

d ? 21) . 21) /2Dx\

et, nous venons de voir que quand x = ~ , Aamp./— *j a pour valeur b : par conséquent

d ? 2Dfe

et l'équation (2) donne pour B cette seconde valeur

/mu ^ ^ 1^

On voit que ces coefficients A., B, C, contiennent diverses fonctions de q, exprimées par une infinité de facteurs binômes. Ces fonctions , au nombre de quatre , sont

« = (i-î)(i-? 3 )(i-î 5 ) etc.,

«'= (l-<f)0-9 4 )(t-2 6 ) etc., C = (1 -4- q)(l+<?)(l+q 5 ) etc., C = (1 + q') (l -4- q*) (\ f) etc.

On trouve d'abord, qu'elles satisfont à l'équation = ou 1 = aCC' : il nous reste à faire voir qu'elles sont susceptibles d'une expression finie.

Pour cela , soit e^-i = V : on aura

sin. 4;== =z , cos. 2* =

Cette dernière valeur permet de partager chaque facteur trinôme de la formule (1), en deux facteurs binômes , ainsi qu'il suit :

(4) sin. amp. I 1 =

2D V-V- 1-ç'V-' l-o*VM-g 4 V->

A' - — . etc.

* \V—\ t-q\> l--oV" a l-q*\* l-^V- a

Mettons + ]/~ D(&) a | a p| ace de — dig. ? = p : alors sin. amp./> se change en

sin. amp. \p -f- l/^ï D(o)l = — — î (§26) ,

r ur Wi csin.amp.jD

et comme on a

fi s= C ,

V devient

par où Ton voit qu'on peut mettre dans la formule (4), c ^ in * mfp au lieu de sin. amp.p, pourvu qu'on mette en même temps Yqb à la place de V. Par cette double substitution , la formule devient

!=!?. A , Ygî-v-y-* (i-g'v > )(i-gv- > ) , (i-? s Y > )(i-g'v-') clc

csin.amp.p » ' *VZT\ (l-g*V*)(l-V-«) (l-g«V»)(l- 3 «V-»)"

En la comparant à l'équation (4) , on trouve , en multipliant ces deux formules membre à membre , et en réduisant ,

1 = (— V A*. -L ; d'où résulte A =

Connaissant A , on aura les quatre coefficients a, a, C et f, qui entrent dans les valeurs de B et de C , au moyen des équations

*-g ! -9 3 *-g 5 . tc i

• /~îr l+q 1-»- g 3 1-4-C 5 - / x C

A=== V 2D 1 6lC ' 8=5 V 2D ? '

B =r^7ï^ etc - != ? ($n9) '

B . \/^. i±! I±£.i±£. etc . = %/l^. f ,

c= ^.l±îl±f.i±^. elc . = l /ïf 1 — q 1— I — a

dont la comparaison donne les trois suivantes :

auxquelles il faut joindre la relation On en déduira sans difficulté

d'où

a* = îq< bc~*, «* = îç<i~ï c— », ïlh\\ i

Ainsi , tous les coefficients qui entrent dans les expressions de sin. r , de cos. y et de a(^) , sont déterminés sous forme finie , et Ton a les trois formules

/2Dx\ g* 1— 2g*cos.2x-4-g 4 1— 2g 4 cos.2jj-4-«*

«in. amp.l = 2 -j sin. x elc. ,

\ »■ / c» 1— 2g cos.2x+g f 1 — 2g 8 cos.i^r-4-g ,

, J /2Dx\ i/o\à 1-*-2g*cos.2.r-4-g 4 l-*-2g , cos.2x-+-g 8

(oKcos. amp. = 2gM- cos.ar- — ~ — etc.,

I \ t J \cj 1— 2g cos.2j;-4-g* l-2g s cos.2x-4-g r *

(2Dx\ î l-+-2gco8.2x-4-g t l-*-2g 3 cos.2aM-g e 1 = 6*- - — — = - • -, — ~-z =- - etc.

x J 1— 2g cos. 2x-*-g* 1— 2g 5 cos.2x+g b

§ 124. Représentons, maintenant, par Cl le produit des facteurs binômes

(Y — V-') (l-g'V>) (i-g'V-') ( l g*V ) (l-g*V- a )etc. ,

qui entrent dans la formule (4) , par Cl' celui des facteurs

(l-gV')(l-gV-')(l~g 3 V a )(l- î 3 V-')(l-g r >V')(l-g5Y-') etc.,

qui s'y trouvent également, et proposons- no us de remplacer les produits Cl et ft', par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de g. Soit, à cet effet, l'équation hypothétique

A^V-V- 1 ) -4- A. 2 (V 3 -V-*) -4- A 3 (V»—V-*) + etc. =n,

dans laquelle A 4 , A,, A 3 , etc. , dénotent des coefficients indépendants de V : en comparant les deux expressions de ft , on aura

(6) (V— V- , )(l- 9 a V')(l-g 1 V- 9 )(l-ç*VXl-î 4 V-«).etc. =

A t (V— V-')-*-A a (V 3 — V- 1 ) -*- A 3 (V 5 — V- 5 ) -+- etc.,

et si l'on meLgY à la place de V , on doit avoir

(7) .... (gV-g-'V-')(l— g*V')(l-V- I )(l--g6V*)(l-g'V- î ) etc. = * A^gV-î-'V-'î + A^^V^-W-^-nAj^-g-^V-^H-etc.:

or , en retranchant les facteurs communs au premier membre P de l'équation (6) , et au premier membre P' de l'équation (7 ) ,

P se réduit à (V-V-«) (1-g'V), et

P' se réduit à (gV-g-'V- 1 ) (i— V~ a ).

Ce dernier résultat est égal au précédent, multiplié par — g— 'V - *: donc, si Ton multiplie le second membre de l'équation (6), par — q~~ 'V - *, le produit devra être égal au second membre de l'équation (7) j ou , ce qui revient au même , si l'on multiplie le second membre de l'équation (7) , par -+- gV* , et qu'à ce produit l'on ajoute le second membre de l'équation (6) , la somme devra être zéro , et l'on aura l'identité

0= A,V ■+- A a V A 3 V* -+- A 4 V 7 etc.

- A/V A.g'V 3 -f- A a g 4 V 5 h- A 3 g 6 V 7 -4- etc.

- A , V- » — A 3 V- 3 — A 3 V-* — A, Y" 7 - etc.

- A^g-'V- 1 — A 3 g-*V-3- A 4 g-6V-5~A 5 g-8V-7— etc.

Par les puissances positives de V , on obtiendra les équations de condition

A a H- A.g^O, A,-f-A a g 4 = 0, A 4 +- A 3 g°=0, etc. ;

et comme les puissances négatives donnent les mêmes équations > on en conclura les déterminations suivantes :

A, = -A,ç\ A 3 = -A,g* = A l gS, A , = — A 3 g° = A ,g* J , A 5 = - A ,g» = - A,g °, elc. :

donc , il vient enfin , au lieu de l'équatiou (6) ,

(V— V-«)(l— g'V'Xt- YV-')(l~ q*Y 9 )(\-q*\->) etc. = A^fV-V-^-ç^Vï-V-^ + ^V 5 — V-*)- g "(V*—V

identité dans laquelle les exposants de g résultent de l'addition des termes de la progression 2,4,0,8, etc., et sont, par conséquent, les nombres triangulaires multipliés par 2. On en déduira, en y mettant q%V à la place de V, et en multipliant ensuite les deux membres par — g*V,

(l-gV)(l— gV- a )(l-^V a )(l— ^V— )(l— çSV'KI-^V— ) etc. = A, [l-olV'-t- V->) +g 4(V«H-V-«) -g 9 (V«-4- Y" 6 ) etc.] ;

équation dont le premier membre est précisément la valeur de 12', et dont le second membre est tel , que les exposants de q sont les carrés des nombres naturels. Si l'on remet au lieu de V sa valeur c xV— 1 } ou cos. x V — 1 sin. x , les deux formules que nous venons de trouver , s'écriront ainsi :

(8) . . .sin.^(l — 2g , cos.2;r-t-g 4 ) (l — 2g 4 cos.2:r-»-g 8 ) ( 1 — 2g n cos.2x-t q* *)elc.

= A, [sin.ar— ç , sin.â.r-»-(/ 6 sin.oar— g"sin.7^-f-5 7 "sin.0a:— etc.] ,

(9) . . . ( 1 — 2ocos.2.r-4- g')(l— 2g*cos.2 x+ q*){ l — 2g 5 cos.2.r-4- g'°) elc. = A, [1 — 2gcos.2jr4-2g 4 cos.4.r— 2g 9 cos.6.r^2g ,0 cos.8.r--etc.].

En changeant, dans la première de celles-ci , x en ~ — x, 011 aura

( 1 0) .cos.3-( 1 -+-2g*cos.2.f-»-g 4 )( 1 n-2g 4 cos.24H-g 8 )( l -t-2g°cos.2 x-\-q x )elc. = A l [cos.arH-g' i cos.8x-^5 6 cos.5ir-^g l5 cos.7j-»-g- 0 cos.9x-*-clc.] ,

et , en opérant le même changement dans la seconde , on obtiendra

(ll)...(l-^25cos.2J•-^-g , )(l-4-25 3 cos.2^^-9 6 )(l-f-2ç 5 cos.2a:.^-o ,,, ) elc. = A, [l -+-2g cos.2.r-i-2g 4 cos.4:r-+-2g 9 cos.6*-»-2g ,6 cos.8.r-4-etc.] :

si l'on compare maintenant ces quatre dernières équations, aux formules générales (a) , celles-ci deviennent

' 1 \ i 2ç î si 11 . i- — 2g ? si n . 3* 4- 2o v si n . 5x — etc.

/2D.r\ /1U 2<psin..r — 2gîsin.3.r-+-2o vsin.5x — elc.

n.amp.^ ^ j ^ j j 2 îCOS .2j-»-2g 4 cos.4x— S^cos.ea-f-etc. 1

/2D.r\ (b\l 2g^cos.#+2o*cos.3:r+*2g Vcos.o\r-*- etc.

lb)[cos amp. = - tl t . - : — iTTj 7> ~»

1 \ t / \cj 1— 2gcos.23H-2g 4 co8.4.r— 2g J cos.0xn-clc.

/2Dj\ ^ 1 H-2gcos.2.c-4~l , g 4 cos4.i-4-2g 9 cos.Gj4 elc. aU1 ^ \ t / I — 2gcos.2x-f-îg 4 cos.4x— 2f 9 cos.Gx + elc.

§ 12B. La forme de ces expressions remarquables , a M. Jacobi à considérer deux nouvelles transcendantes 8 (g, x), A(g, x) (*) , ou simplement S{x) , A(x) , dont les valeurs développées en séries sont

0 (#)=1 — 2g cos .2x ■+■ 2g 4 cos.4 x — 2g 9 cos Sx 2g 1 6 cos .&r — etc. ,

1 A(*)=2g*sin.jr — 2gïsin.3*+2g¥sin.&F-- 2g ¥ sin.7#-f- etc.

En y écrivant # -t- |a- au lieu de x, on obtient

(18) j^*" 1 " i T ) = l-*-2gcos.2j?-i-2g 4 cos.4jr-i-2g 9 cos.0a?-*-etc. , (a(j?-+- iT)=2g*co8.af-+-2g«cos.8x-*-2g "cos.5a?-*- etc. ;

d'où il suit que les trois formules (b) peuvent être présentées sous celte forme très-simple

/2D*\ /1U a(«) s,„. amp. (— ) = (-)

Soit maintenant

^ = idig. ? = dig.(r:

nous aurons , par la formule relative à la duplication des digamma (S 20),

tang. £ ? a= a(<t) tang. <x.

Par les dernières formules , on a

(ÎDx\ /2Dj?\ • A(x)Q(x i t)

(*) M. Jacobi écrit U(q, x) au lieu de A{q } x)] mais la lettre H étant déjà employée pour désigner le type général des fonctions elliptiques , nous â\ons suivi l'exemple de Lcgcndre, qui Ta remplacée par A.

mettant \x à la place de le premier membre deviendra

(Dx\ (Dx\ a amp. I — J tang. amp. I — 1 = a(<t) tang. c :

par conséquent , on tombe sur cette nouvelle formule

(d) . . . . tang.iamp. = -^M — r — '

§ 126. Les propriétés des fonctions 6 et A vont nous fournir un grand nombre de formules, dont nous ferons connaître l'usage dans le chapitre suivant. 11 suffit de la simple inspection des séries représentées par S(s) et A(x) , pour établir les égalités

e(ar) = e(— , e(*+x) = e(x) ,

e(ir+jr) = e(i«—Jf),

A(*)«- A(-*), A(t — x) — A(x) , A(jt-»-#) = — A[x) , A(ir+2r) = A(ir—

Ces fonctions peuvent aussi se déduire Tune de l'autre , car on tire aisément des équations (c), les relations

A a (*)-*-^>+lsr) = ce'(*), e'(a-) = cA'(#) -4- b&(x -Mt) :

ainsi, la transcendante 6(x) peut se déduire de \(x), par la formule

et , réciproquement, \(x) peut se déduire de 0(.r), par la formule

(15) .... a(*)«=v -e"(*) — -e'(*+ir).

Une table calculée pour les fonctions Q(q, jr), selon les diverses valeurs de q et de x, servirait donc à en former une semblable pour les fonctions A(q, x) , et vice versâ.

Comparons les expressions de S(x) t A(x)> 6(x+lr), A(x+\x), fournies par les équations (12) et (18), aux identités (8), (9), (10)

et (1 1) : nous en conclurons ces quatre formules nouvelles, dans lesquelles C désigne la constante ^ (*) ,

Ie{x) = C (1 —2g cos. 2x-Hf») (1 —2g 5 cos. 2x-4-g*) (1 —2g 5 cos. 2j5-t-g , °) etc. , A(j) = 2g* C . sin . x( 1—2Ç* cos. 2x-4-g 4 ) (1 —2g 4 cos . 2x-H/*)(l — 2g e cos.2.r-4-g ,î ) etc. . 0(x-f- 1 x) — C(l-f-2g cos. 2x-4-g i ) (1 -*-2g 3 cos. 2j?-*-g B ) (1 -»-2g s cos. 2x-4-g'°) etc. , A(x-f-|T)=2gTC.cos.a^1-4-2g ! cos.2a;-t-g , )(1-t-2g 4 cos.2j:-»-g s )(1 -4-2g s cos.%E-t-g") ctc >

Chaque facteur de A(x), dénoté par 1 — 2g/"" cos. 2ar 4- g 4 '", se décompose en deux autres

l~2g m cos.ar-4-g'" 4 , et 1 2g m cos.# + g"" ;

de sorte qu'on aura

(sin.£:r(l — 2gcos..r -i- g*) (1 — 2g'cos.;r-f-g 4 ) etc. X )

A(x)—ÂqiC \ > î

(cos.^j(l-+-2gcos.^ -+-g')(l-+-2g : 'cos.j;-+-g 4 ) etc. )

mais , si l'on écrit g i à la place de g, et ^jr à la place de dans les formules (16), on a (en désiguant par C, ce que devient la constante C , par ce changement)

A(gi,£.T)=2C'gàsin.|:r(l — 2gcos.x-f- g')(l — 2g , cos.ar + g 4 ) etc. , A(gï , ^-+-^T)=2C'g i cos.^ (l-t-2gcos.a;-f-g*)(lH-2g , cos.^-»-g 4 )etc. :

donc

(17) .... A(g, *) = ^A(î*, **) A (ï*»i*-*-W- On trouverait , de la même manière,

(18) .... e( y ,i) = ^0(f,^)e(f, i*-»-iT).

Si l'on se borne à changer g en g^ , dans la seconde des équations (16), on obtient

A{(fi, x)—^C'q\ s'm.x{\ — 2gcos.2#-+-g , )( 1 — 2g*cos.2x-4-g 4 )(l — 2g 3 cos.2x+g 8 ) etc. ;

O Toutes les constantes mentionnées <lans ce paragraphe . seront déterminées au paragraphe suivant.

et, puisque tous les facteurs trinômes de A(q , x) , sont compris parmi les facteurs trinômes de A(q* , x), il s'ensuit qu'on a

*(g»,x) q ~i (1 2g cos.ax^-g') (1 — 2ç 3 cos.2j?-tY) (t -2g r, cos.2x-4-«n etc . , A(ç,x) C

et , par conséquent ,

<■•) fH ; <- !e «' *

D'autres combinaisons des formules déjà obtenues , conduisent à de nouvelles formules, qui serviront plus tard à démontrer des théorèmes , d'une application très-utile dans la théorie des fonctions elliptiques. Prenons, par exemple, les deux formules

/1Ua(x) A(**)0U*-i-ir)

sm - ?=5 U) iw- tan{M?=

puisquou a

Stang.i-.

sm.p =

l h- tanjj.'^y '

la substitution des valeurs précédentes , donne l'équation

A(*) %sh[i*)e(i*)/L[ix+iT)e(is + iT)

0(x) ~ A*( **)9'( + + 6'( fr) A'(i* + ! £ r) '

dans laquelle toutes les fonctions 0 et A se rapportent à une même valeur de ç. Maintenant, pour réduire le numérateur du second membre, mettons g* à la place de 9 dans les équations (17) et (10) : en appelant C, ce que devient C par cette substitution , qui remet C à la place de C, on obtient

\(q\ x) = ~ A(g, *x) Afa. \x 4- |t) ,

équations dont le produit des seconds membres égale le numérateur proposé, à une constante près. Pour réduire , de même, le dénomi-

nateur, nous remarquerons qu'en vertu des équations (14) et (15), on a la relation

A'(£*) e a (** -+- ir) -+- e*(ijr) A'(i* •+- |t) = f [e 4( ijr ) A 4 (4jr)];

d'où l'on conclura

a(*) 2M> aÇo 1 , *)e(?\ s)

8(jt) C,'c* 6 4 (ia?) A4(ijr)'

formule qui va nous en donner une autre , par sa combinaison avec l'équation (19). Si Ton change q en ç a , dans cette dernière , il vient

fc) = c -W,*) =

tirant de cette équation la valeur de A(q, x) , pour ta substituer dans celle qui précède , on tombe sur ce résultat :

§ 127. Il nous reste à déterminer les constantes C, C et C, : or, nous verrons tout à l'heure , qu'elles se déduisent toutes trois de l'expression de 0 (q, 0) sous forme finie. Pour trouver cette expression, on remarquera que si l'on fait x=0 , dans la valeur de &(x) développée en série au § 125 , il vient

e(g, 0) = 1 — 2 g + 2 g '— 2 9 ° -+- 2 9 '6- etc. ,

et que, si l'on fait la même hypothèse dans la troisième des formules (c), on a

(21) . 1 — 2? + 2y« — -f- etc. = Vb{l +*q ~» 2 g * 2g'+etc.).

Représentons par n(c) la série qui multiplie \^b t et cherchons ce que devient ïl(c), quand on change q en g 4 : en vertu du § 89, on a la suite d'égalités

m - 2 EW * !^) « E(0 elc

et, par conséquent,

Or, changer q en 9* c'est changer en 4^, ou ^ en :

ainsi, par le changement dont il s'agit, n(c) deviendra n(c„). • D'après le §81, on a

et comme 0,= ^-^, on a, entre les di gamma complets D(c„) et D(c), la relation

i/dkT) 1-tV*

Observons, maintenant, qu'on déduit de l'équation (21) et de la valeur den(c), la relation

(28) .... l+2 g «+2o l6 4-2î 36 H-etc.==— ^— n(c);

d'où

n(0 = — ^— n(cj:

de là, et de l'équation (22), on tire

VD{c„) i/D(c)

Le premier membre de cette équation est composé en c„, comme le

second l'est en c : d'où il suit que le rapport p. — - est une fonction

de c, telle que l'on peut y changer c en c„ , ou (ce qui revient au même) q en qr 4 . Si donc l'on suppose ce rapport développé en série de la forme

= \ + l) q +Cq> + Dq* Eq* -+- Fo 5 -4- etc. ,

VD{c)

A , B, C , etc. , étant des coefficients constants, on aura l'identité

A-f-Bg+Cg' + Dg 3 -*- etc. = Ah-B^-hC^+D^'-*- etc. ;

d'où Ton conclura que tous ces coefficients sont nuls à l'exception de A, et qu'ainsi le rapport dont il s'agit est égal à une constante. Or, lorsque c = 0 , on a q — 0, D(c) = £jt, et n(c) = l : donc la constante

a pour valeur ^ et n(c) est égal à y^/ - — -. Il s'ensuit qu'on a

î-f-s^-hV-^ 2 ? 9 -^ 2 ? 18 -^ etc - =

et, finalement, à cause de l'équation (21),

Voyons comment cette valeur de 8(5, 0) va nous conduire à la détermination des constantes C , C et C,. Pour assigner la première, nous remarquerons que le développement de 8(x) en facteurs trinomes (§ 126). fournit la relation

et que, d'après le § 123, x 3 a pour valeur %lqTîb^c ~l. On en conclut immédiatement

La constante C étant ce que devient C, quand q devient \/q, nous ferons observer que = 2^, par la même raison que ^=2^ ,

d 011 » d^Î 1 d[c')' 0r ' enanger 7 en q* , c est changer ^ en i ^ , ou c et 6 en c' et 6' : par conséquent

Mais on a

il vient donc

Quant h C,, qui est ce que devient C parle changement de q en g', il est évident qu'on trouverait , par un raisonnement analogue à celui qui nous a donne C, ^

et comme on a

2 Vb l — b . 1 -+- b „ , N

b > = TTb> C ' = rTi' D(c,) = — D(c),

il vient , en faisant toutes les substitutions et réductions nécessaires ,

C,= (2g) «c»* 1 *' y § 128. Si dans l'équation

VI e(.rj '

on prend les logarithmes des deux membres, les différentielles de ces logarithmes, divisées par dx f donnent la relation

c' sin.^cos. v d? d. %(x +■ {*■) d.&{x) dx~ dx.k){x+±x) ~ cfr.e(tf) '

si l'on y substitue la valeur ~ = qui résulte de l'équation dig. f = -— , on obtiendra

2D c'sin.vcos.y rf6(^-4-jT) dQ(x)

Soit dig.Ç une fonction de première espèce , telle qu'on ait

dig. ï = — (x + lT) = D + diQ.?:

il viendra, par les propriétés connues,

csin.ycos. ?

E -+- eps.o — eps.Ç= c'sin.i-sin.Ç = ■ ,

et si l'on fait i = ^ , on déduira de ces deux équations c'sin.ocos.y

= (eps.? — t dig. ? ) — (eps.S — tdig.Ç) .

Combinant ce résultat avec celui qu'ont donné les différentielles des logarithmes , on trouve l'équation

— (eps.?-tdig.?)- — — = — (eps.Ç-tdig.y-

dans laquelle il importe de remarquer que eps. ? et eps. £ , pouvant être dénotés par eps. amp. a?] et eps. arap. [~ (#-*-£»•)], les deux membres sont des fonctions semblables, l'un de x et l'autre de x+- \x : on peut donc écrire cette équation sous la forme

La fonction 4>(x) se compose d'un epsilon , d'un digamma et de la fonction

d9 (x) A q s i n . 2 x — 8g 4 sin . Ax -+- 1 2<j 9 si n . 6 x — 1 Bq 1 6 sin . 8 x h- etc . rf.r.e(r)~~"l— 2çcos.2#-f-2ç 4 cos.4;r— 2g 9 cos.6^H-2 3 ,r cos.8x— etc.*

celle-ci s'évanouissant , ainsi que eps.? et dig.?, quand #=0 , il s'ensuit que <l[x) = 0 t quand x=0. Ce résultat, combiné avec l'équation (24) , fait voir que s'évanouit encore , chaque fois que l'arc * est égal à un nombre quelconque de quarts de circonférence.

Je dis maintenant que la fonction est toujours nulle, quelle que soit la valeur de x.

Pour le prouver, nous aurons recours à la formule (20), dans laquelle nous Remplacerons x par 2# ; ce qui donnera

e(*,)--^[ev)-A<(*)]:

• 26 cy

comme on asin.tf=~* , d'où A(x) = c^S(x) sin.?, il viendra, en

ci &(■*)

portant au lieu de A(x) sa valeur dans l'équation précédente,

eflr) = -8 4 (.r)(l— c'sin.^).

Cette équation étant différentiée logarithmiquement, c'est-à-dire après que Ton a pris les logarithmes des deux membres , donne

de(lr) Add(x) 4c a sin. 3 ?cos. ?

( 2) • 6(2*) = ~ë(ï) l-c'sin.* ? f

or, si Ton différentie la formule ( 17) du § 66, après l'avoir écrite sous la forme

r(p) = 4ï( ? ) log.(l— c'sin.*?) ,

fi représentant l'amplitude d'un digamma double de celui de <? , Ton aura

dut d? 4c'sin. 3 ocos.ç> , (26). . eps./c.-— = 4eps.y. — ^- . . d ? ;

et comme -^ T = 2-^-, il vient, en substituant à-^ sa valeur ~d.v ,

4D 8D 4c , sin. 3 ? cos. 9 >

— eps./a.da? = — eps.o.dj? — — - — d».

t t 1 — c'sin. 4 ?

Retranchant de ce résultat , l'équation (25), on obtient, en combinant le reste avec l'équation déjà employée dig.^u = 2 dig.y ,

2D , dm*) ft r 2P , • j« v <*e(*)n

- ( eps.^d 1 g.^ ) ^ 2 ^ eW - 2[-(eps. y -,d 1 g.^-— j;

ce qui met en évidence une seconde propriété générale de la fonction * , caractérisée par l'équation

*(2tf) = 2*(jr).

Maintenant , si l'on développe *(#) en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, celte série ne contiendra aucun terme indépendant de x , car s'il en était autrement , <&(#) ne s'évanouirait pas avec x : on pourra donc écrire

*(.r) = A* -4- Ils* -t- Cr 3 Dr 4 -4- Ex* -h etc. ,

A , B , C , etc. , étant des coefficients constants. Mais alors , on aura aussi

<J>(2.i:) = %U -4- r-Vx- -4- 2 3 C.r 3 -f- 2 4 Dj 4 -4- 2 5 E.r 5 -t- etc. ;

et comme *(2#) = 2*(.r), on eu conclura B=0, C=0, D=0, etc., cl il restera simplement 4>(x) = A*. Or , la condition *(j)=<I i (j4-|t) exige que l'on ait A.r = A:r h- A. £ t; d'où A = 0 : on a donc , en général , *( x) = 0 ; ce qu'il fallait démontrer.

§ 129. La première conséquence de l'équation *(jr) = 0, est

2D. ,^ 4osin.2jr — 8ç 4 sin.4.r -4- 12g 9 sin.6j? — etc.

T v e P s 'r— * 'g-?;— i 2 aC os.2^-4-2o 4 cos.4x — 2g 9 cos.6.r-4- etc. '

formule qui servira à déterminer la fonction de seconde espèce eps. ? , au moyen de la fonction de première espèce dig. ? = — : de sorte qu'on aura cette expression de eps.y en fonction de x,

"2Ex 2t çsin.2# — 2g 4 sin.4.r h- 8^ 9 sin.6x — etc. .eps.f T D 1 — 2gcos.2.r-4-2g 4 cos.4.r — 2ç 9 cos.6.r-4-etc.

La fonction Q(x) étant développée en facteurs trinômes , comme il suit : •

6 (x)= C( 1 - 2gcos.2.r +g a )( l -2g 3 cos.2*-4- o 6 )( I -^cos^-r^ 1 °) etc. ,

on en tire , par la differentiation ,

d&(x) 4q$\n.<>x Aqh'm.^x 4q s a'm.9x

dx.Q{x) ~ l-2gcos.2.r-+Y l-2g 3 cos.2x-4-g R 1 -2</ 5 cos.2x-hg 10 CtC '

Mais, par une formule aisée à vérifier , on a

osin.2j7 (

- — = q sin. 2x o'sin. hx -4- g 3 sin. Gx h- etc. :

l-2çcos.2.r-4Y * * *

donc, le second membre de l'équation précédente, peut se développer ainsi :

sin. 8a; 4- etc. ;

sin.4#-t- 4g 3

sin.6.r-4-4g 4

-»-etc.

h- etc.

-4- etc.

et si l'on fait la somme de chaque colonne verticale , cette quantité deviendra

siu.2.r

sm.4.r-4-- — — i sin.6i* -4 „ s\n.Qx-\- etc. :

donc enfin , l'équation 0 pourra s'écrire sous la forme

(28) . .eps. ? =^H-^-i sin.2j? -f- j^sin. hx+ ^5*io.6a?-t- etc.J.

Si l'on suppose x infiniment petit , ce qui donne eps. ? = ? = f on déduira de cette dernière série , la formule

qui servira à calculer l'epsilon complet E(c), au moyen de la fonction q, c'est-à-dire au moyen des digamma complets D(c) et D(o).

Si l'on multiplie respectivement les deux membres de l'équation (28), par ^? et par — ^r- > on trouve en intégrant, après avoir déterminé la constante par la condition que f et x s'évanouissent ensemble, et en remplaçant, en général, 1 — cos.2s par 2sin.'s,

2DE r a a* o 5 ~]

Si l'on prend , dans cette formule , ? = f (d'où x = |) , on a, en vertu du §65 ,

(80). . . llo ff .i«^+^^+i. 1 JL+etc.

Si l'on différentie la formule (28) , en observant qu'on a

do 2DA'<far d.eps. ? = a \ — = — ,

A JT

ou trouvera

. , E 2r 3 /ocos.2x 2g , cos.4# 3o 3 cos.0j? \

1 — c ' si ii. v = — i \ — - 1 — = \~ etc. 1»

Celte équation, combinée avec le résultat qu'on obtient en y faisant y = 0 , donne

. , 4t" fosin. Q jr 2a*sin. a 2:r 3<y 3 sin.'3.r ~| (31) . . «a.-, = -L—h..!—- + etc.] ;

expression assez élégante , qui peut servir à déterminer l'amplitude par le digamma.

§ ISO. Soit maintenant

= dig.y, = dig.A:

soit , de plus ,

dig. n = dig. ? dig. A = — (jt -h /) , ig. v = dig. 9 — dig. A = — (* — /) :

on aura d'abord , en considérant A comme constant ,

~ a (y) ~ à{fi) A(v)' Ensuite , l'application de la formule ou

donnera les deux équations

J ' = (eps.* - t dig.*),

—7 ^ = eps.v-tdig.v);

d'où l'on tire

— i L S -i = -— L-(eps./* — eps.v — tdig./u + tdig.v)

Mais les propriétés des epsilon fournissent les équations

eps. y -f- eps. A — eps.ju = c* sin. f sin. A sin.*, eps. v -f- eps. A — eps. f = c' sin. y sin. A sin. v ;

d'où

eps. /x — eps. v = 2 eps. A — c 1 sin. A sin.^sin.^ sin.v) : et comme on a , d'ailleurs ,

dig. fx. — dig. j/ = 2 dig. A ,

2 sin. ? cos. Aa(a) /e

on obtiendra , en faisant les substitutions ,

<*3(*-0 d&(s+l) d f / 2c'sin.yin.Acos.AA(A) \ ë^^ê^^M^l l-c*sin.'Asin.> 2eps.A4-2idig.Aj ,

équation différentielle dont l'intégrale est (e). . .cot. A A(A)[kal.(A, c, dig. ?] (t dig.A — eps. A)dig. ? — ilog.~- :

on n'a point ajouté de constante arbitraire , parce que les deux membres s'évanouissent lorsque ç> = 0.

§ 131. La formule précédente nous apprend, qu'à l'aide de la transcendante 6 , on peut réduire les kappa logarithmiques à des fonctions de deux arguments. Il est donc naturel de chercher à modifier notre formule de manière à la rendre applicable aux kappa circulaires. Introduisons , à cet effet , dans ses deux membres , la substitution imaginaire de sin. A en y — 1 tang.0 : par les résultats obtenus aux 25 et 31 , le premier membre multiplié par V — 1 , deviendra

Quant au second membre , également multiplié par V — 1, il a pour développement

1 — 2gcos.2.rcos.2/-t-2g 4 cos..4:rcos.4/— etc.i -—2g sin. 2x sin. 2/ 2g 4 sin. kx sin. 4/ — etc.)

1 — 2gcos.2j? cos. 2/ -+- 2g 4 cos. kx cos. 4/ — etc 2g sin. 2.rsio. 2/— 2g 4 sin. 4.rsin.4/ -i- etc

di g . (6, ô ) = JlI

l'équation dig. (c, a)=V / ~1 dig. (6, ô) donne

par conséquent

2cos.2/ = e ^e^c) ^ T+gT,

2 sin.2/ = \q *—q*I.

On aura des valeurs semblables pour 2cos.4/, 2sin.4/, etc. : faisant ensuite

P = 1 — q\q T + ç*7cos.2# -+- g 4 \q T +q r Jcos.4x

(6/ 6f\ ? T -+- q T J cos.Qx etc. ,

Q = q\q T — j T /sin. 2a; — *" — ç T /sin. kx

l - ïi\

9 9 W *~ 9 T /sin. 6* — etc. ,

il viendra

il/~"T iog. e (x - /) = i^^Tiog. (P - QV^î),

il/ - 1 log.e (*-+-/) = llog.(P + Ql/-l):

donc

e (x — /) y P — Ql/^T

il/ - I log. f = il^— 1 log.

0(jr-4-O P-4-QI/— 1

Soit enfin (*)

la quantité logarithmique qui précède , se réduira à Parc de cercle qui a Cl pour tangente , et l'on aura cette nouvelle formule

— : rkap.(c 5 tang. ? e, c, y) — cos. a 0dig.(c, ?)]

sin. 0 cos. 0

(/■). . ^ -+- dig.(c, — t) dig. (6, o) — cps.(6, 0)]

arc (tang. = n),

C) Dans le traité île Legemlre . fî désigne l'arc qui a pour tangente — •

par laquelle on voit que le kappa logarithmique de la formule (e), s'est changé en kappa circulaire. Mais cette transformation ne nous procure pas l'avantage d'exprimer les kappa circulaires , par des fonctions de deux arguments, car la transcendante fl, qui est devenue notre nouvelle auxiliaire, dépend essentiellement de trois quantités, q, x et t; et l'on ne voit aucun moyen de la décomposer en deux parties, qui pourraient s'exprimer chacune par deux arguments. Ainsi, la propriété des kappa logarithmiques, qui fait l'objet des §§ 62 et 130, ne paraît pas s'étendre aux kappa circulaires.

§ 132. Si l'on ramène au type normal la fonction kap.(c'tang.^,c, T ), à l'aide des formules (a) et (b) du chapitre V, l'équation (f) sera remplacée par

o'sin.Ocos.o

4 , fc ,x [kac.(M, ?)- <*ig.(c, ? )] \(b, b)

(y).. . . {=dig.(c, ? )[(l — t)dig.(6,0) — eps.(V')]

f-arc tang. = 1 — arc(tang.=ii).

\ 0 cot.? cot.6 / v u

Soit r ce que devient la fonction q lorsqu'on y permute les modules b et c, et représentons par P' et Q', deux séries composées avec r et les angles-limites t et :r,.de la même manière que P et Q avec q et les angles-limites x et /; c'est-à-dire que

r~~ * r ** j cos.2f h- r 4 \r~~^ -+-r * jcosM

(6x 6x\ / Sx 8x\

r r T )cos.6<-+-r 16 \r -+-r * jcos.8* — etc.,

r . r T jsin.2f— r* \r T — r*"/sin.4*

H-r* \r~~ — r T Jsin.6# — r 16 \r~ * — r T ] sin.8< + etc. :

par suite des propriétés des kappa circulaires , si l'on pose ==j, = n' , la formule [g) pourra être remplacée par la suivante :

o'sin.e cos.o ri

l kac -(*> c > v) - dl S-(c, ?) J

(£')• • • \— d »g-(ci ?) L/dig.(t,e)— eps.(6,e)]

-+- arc(tang. = Cl').

En effet, si Ton permute dans l'équation (</), les lettres 0 et y, o etc, les angles-limites ar et * seront également permutés , et les fonctions q et « se changeront respectivement en r et en j» Il suffira , pour lors , de combiner le résultat de ces permutations avec la formule (e) du § 56 , pour obtenir l'équation (</').

De la combinaison des formules {g) et (g') avec la relation entre les fonctions complètes (§60)

on déduit sur-le-champ

arc fng.(n) + arctang.(n') + arc tang.^— . __ j ;

équation qui lie entre elles, d'une manière bien remarquable, les transcendantes Cl et n'.

§ 138. Soit maintenant T (tau) ou T (r, x) une fonction de r et de x ainsi exprimée

■+- etc. :

si l'on suppose 0 infiniment petit dans les deux membres de l'équation (g') , et que l'on désigne par a ce que devient n' par cette hypothèse , on aura

. . . o 5 0[kap. ( — l,c, f) — diQ.tf]—0(J — l)dig.? + u'; équation dans laquelle le premier membre se réduit à

Quant au second , l'angle-limite t étant aussi infiniment petit , tous les sinus qui entrent dans l'expression de lî' se réduisent à leurs arcs ,

et les cosinus à l'unité : de manière qu'il vient pour a',

r \r *— r*J— 2r*\r *" — r*" 7-4-8rnr T -r y / -4-etc . # T /--4 r*\r *" -4-r T / — r»\r~~ * -v-r T /h- etc.

d'où

log. r Tcfa? D(cJ Tcfar *

et , en vertu de I équation ù =. dig.(&, 0) = 1, l'on obtient

5T0 dT

2D(c) Trfx

Cette expression étant substituée dans l'équation (88), il reste, après avoir supprimé le facteur commun 0 ,

x dT

d'où l'on tire

r~~~— r f /-2r4r~ y -f T j -4-8^^""^— r T j-etc.

etc.

Si l'on multiplie tous les termes de l'équation (84) , par ou par son équivalent -j , on aura l'équation différentielle

dT dy d ? sin. ? rf ?

— =eps. ? . --4- (^l)dig. f . T - — — ,

I A A COS.f

dont l'intégrale est

log.T = T( r ) -t- l (/— I) dig. - r log.cos.-, const. :

si l'on fait , pour un instant , - r = 0, on trouve pour valeur de la constante (g 127) ,

log.( 1-2/- -+- 2r* — 2r® ■+- etc.) = log.y/?î^ ,

et l'équation précédente devient

(86).... log.T=ï( ? Hi(y-l)dig.' ? ^ ;

d'où l'on déduit pourT(?) cette expression remarquable

( 2r 2-r \ / 4x\ /' 6jt 6r \

r T -\-r*) -\-r\r x -4-r / — r 9 \r x -i r T / -4-etc]

1 L , m\ z '" ~ log ' cos " f " k z ' '

§ 184. Nous avons déjà fait observer au § 131 , que l'on peut résoudre au moyen de la fonction 0, le même problème dont la solution nous a été fournie par la transcendante T. C'est qu'en effet ces deux fonctions se déduisent aisément l'une de l'autre. Pour le prouver , nous remarquerons que si, dans l'équation (32) du § 130, on remet au lieu de et de t leurs valeurs et ^ , l'intégration donne , après avoir déterminé la constante comme pour la fonction T ,

E 2AD (37). . . . log.e(a,*) = ï( ? )- — dig.>+. *iog — ;

d'où

log. (1 — 2<fcos.2x 2g 4 cos.4;r — 2o 9 cos.6x -4- 2o ,6 cos.6\r-— etc.)

E 2iD

-M-t: "'G-'v — i lo g

Ka combinaison des formules (36) et (37), donne le résultat suivant:

i / \ i , x ^dl'fî.'e . cD(0l

b v b w ' ; 6 r 41)(o)l)(c) a b fcD(c)

si , dans cette équation , on remplace cos.y par sa valeur en 8(g, x) et A(ç, x -4- £ t) (§ 125) , on obtiendra

ou , en permutant 6 et c dans les deux membres ,

expression assez simple de la transcendante T au moyen de A.