CHAPITRE XIV

Méthode des nomes.

§ 135. Le rôle important que joue la transcendante auxiliaire q, dans la théorie des fonctions elliptiques, et l'extrême convergence des séries qui procèdent suivant ses puissances, ont engagé Legendre à la prendre pour base d'une méthode d'approximation , qui nous parait être lu plus expédilive de toutes, pour le calcul des transcendantes elliptiques. Ses éléments sont : 1° le module; 2° l'amplitude; 3° les fonctions complètes D(c) et D(fc); 4° la fonction q. La grandeur de l'approximation dépend presqu'uniquemcnt de celte dernière transcendante, dont un jeune géomètre belge, M. Loxhay, a calculé une table, d'après nos indications. Cette table, que nous avons placée à la fin de cet ouvrage , est construite au moyen de celle de Legendre pour les fonctions complètes. Elle a également douze et quatorze décimales , et procède par dixième de degré , depuis zéro jusqu'à 4S°. Il est inutile de dépasser cette limite, à cause de la propriété suivante :

Soit 0 l'angle du module , censé plus grand que 45° : en désignant par r, ce que devient q quand le module se change en son complément , on a

log. - =

et , par conséquent ,

lojv. log. - H- log. log. I = 2Iog. T.

En dénotant par log.' les logarithmes vulgaires , et par M le nombre 0.43429 , qui sert à convertir les logarithmes népériens en logarithmes vulgaires , cette formule devient

log.' log.'- log.'log.'I = 2(log.V log/M) q r

ainsi Ton voit que q et r se déduisent facilement l'un de l'autre. Lorsque q = r, on a q — ^-ji , à peu près : il y a donc toujours un des deux nombres q et r, au-dessous de cette fraction.

Si l'on prend 5=0.1 et c = sin.0, la table précitée fait voir, que cette valeur de q répond à un angle du module, compris entre 6 = 68°. 6 et 0=6S°.7 : ainsi , jusqu'à la limite 0 = 68°.6 inclusivement, on a q <0.1.

Pour abréger le discours , et l'énonciation des propriétés de la fonction q, nous appellerons cette fonction le nome (*) : l'angle ô, qui sert d'argument commun à q et au module c, sera dit Vangle du nome y et la fonction r portera le nom de complément du nome, ou de nome complémentaire. La méthode qui a pour objet l'évaluation des. fonctions elliptiques au moyen de la transcendante o, pourra s'appeler la méthode des nomes,

§ 186. Soient les équations

2 2D(c) p, = dig.(c„ ?/ ) = — — • -— r ,

x désignant toujours l'angle-limite : si l'on remplace dans la dernière, D(c) par sa valeur (1h-c,)D(c,), il vient

équation dans laquelle on remarquera, que le second membre est composé en c, et en 2#, comme le second membre de l'équation (1)

(*) Du mot ftrec vépoi , loi.

l'est en c et en x. Or, nous avons déjà vu,au § 127, que changer c en c„ c'est changer q en : il suit donc de la remarque précédente, que si dans une égalité, on a d'une part des fonctions de c et de p , et de l'autre des fonctions de q et de on pourra clmnger simultanément c en c, et p en p,, pourvu qu'on change q en q 3 et x en 2x. A l'aide de celte règle , il sera facile de trouver l'expression en q et en x, d'une fonction quelconque F(c, , p t ) , si Ton sait comment la fonction primitive F (c , p) est exprimée au moyen de ces mêmes quantités.

§ 137. Puisque la fonction 6 constitue, en quelque sorte, la dernière expression des kappa logarithmiques , on peut demander quelle modification il faut faire subir aux éléments q et x de cette transcendante, quand on veut passer de la fonction kal. (A, c, f) à sa transformée kal. (A,, c„, ?,). Pour répondre à cette question , nous poserons

di e-( c > 'r) = ~~ x i di s-( c > x ) = ——h

puis , nous écrirons l'identité

kal. (A, c, y) = kal. amp.l~/j , c, amp.— jr I :

comme, dans la transformée, l'angle A, du paramètre se déduit de A suivant la même loi que l'amplitude se déduit de y (§ 100), nous aurons

kal.(A,, c,, kal.^arap^^^S/j , c,, amp.^^JLr)];

par où l'on voit qu'il faudra changer q en g% et x et / en 2* et 2/, dans le second membre de la formule (c) du § 130, pour qu'il soit égal à la valeur que prend le premier membre, lorsqu'on y change c, © et A, en c, , v, et A,.

Une modiGcation analogue a lieu pour la transcendante fi, considérée daus ses rapports avec les kappa circulaires. Nous avons vu au § 105, que lorsqu'on passe de la fonction kap.(c a tang.'O, c, v) à sa transformée kap. (c, 2 tang.> , c, , , l'angle /x se déduit de l'angle 0 au moyen de l'équation

di s .{A,»)=--±i;dis.(4„„):

or, en posant dig.(6, 0) = 1, cette équation revient à

dig.(6„ „)=(1 h-o)^/;

et si Ton remarque que l'on a, entre le module A, et le module plus petit 6 , la relation D(£,) = (1+ o)D(o) , on obtient

ce qui est la valeur de dig. [b, 6) , au changement près de b en o,. Ayant donc écrit

kap.(c a tang. 3 0, c, ?) =

kap.l c'tang. amp.l — - — /I, c, amp.l ^ x \ I ,

on aura

kap.(c/tang.V,c /î?/ ) =

kap.l c/tang.' amp.l — - — /J,c /? amp.l 2a?j :

ainsi , en changeant q en g* et or en 2# dans la fonction Q, mais sans changer * en 2/, on passera de la fonction de 6 , de c et de y qu'exprime le premier membre de l'équation (/") du § 131 , à la fonction semblablcment composée en /a, c, et y,.

On peut considérer l'invariabilité de l'angle-limite *, que nous venons de signaler , comme l'expression transcendante de la loi de dérivation mentionnée au §105; loi qui parait avoir échappé à la sagacité de l'illustre auteur du Traité des fonctions elliptiques, malgré la facilité avec laquelle on y parvient , à l'aide de la transformation imaginaire qui lui a fait découvrir la transcendante Cl.

§ 130. Dans les diverses formules d'approximation qui vont suivre, l'inconnue est donnée par une équation de la forme

A étant la valeur approchée de x, et \ê l'erreur absolue. Ordinairement, ce qu'il importe le plus d'obtenir, c'est l'erreur relative, qui a pour expression ~, c'est-à-dire Cette quantité ne différant de <? que d'une fraction de l'ordre «J% que nous supposerons négligeable, on pourra regarder eT comme la mesure de l'erreur relative.

Bien que les tables de Legendre donnent les fonctions complètes D et E, avec un haut degré de précision , nous allons faire connaître plusieurs formules, qui serviront à résoudre le problème suivant :

Étant donné un module quelconque c, assigner la valeur des fonctions D et E, avec un grand nombre de décimales exactes , et donner la mesure de l'approximation.

Les formules dont il s'agit , se déduisent des deux suivantes , que nous avons démontrées au § 127, et qu'on peut regarder comme fondamentales :

(2) . . . . l-+-2o+ V-+-V-*- 2 9 16 + etc - =\/ — >

(8) . . . . I— 2o;-*-2 3 *— 2 9 9 -4-2^ 6 -etc.M/^\/^- La somme et la différence de celles-ci donnent

(*). . . . l+2 9 4 +2 5 ,6 -4-2 g 36 -»-etc.=— - — y — .

io \—\ / b x /2D

(5) . . . . ?-+-g 9 -*-9 25 -+-9 49 -+-etc.= — - — y--

Si l'on change dans l'équation (3) , c en c,, , et, par conséquent , q en ç* , il vient , en remplaçant c,, et D (c„) , par leurs valeurs en fonction de c et de D,

(6) . . M-2o*H-2o'^2^-4-etc. = Y/ (1 " > "^ V/ ^ \/^- En faisant la somme des séries (4) et (6), on obtient

(7) 2 h- 4gi« + etc. = y/ -(^ — — -4- y/ ^ /

désignant par Ç le coefficient de , nous aurons