f-V 6 -t- ctc. = çy

d'où

D = ^(l-4-V fi +etc.).

On se formera une idée de la hauteur de cette approximation, si l'on remarque que pourc=sin. 45°, on a

log.vulg. q = 2.685685

et , par conséquent ,

log. vulg. V* = 22.772220 :

ainsi , Terreur relative a pour mesure une fraction décimale , dont le premier chiffre signiûcatif est précédé de vingt-deux zéros.

Lorsque c=sin.63*.6, on a 4<f 16 <0.00000 00000 00000 -4 (§ 185) ; mais dans le cas où c est très-voisin de l'unité , la formule précédente cesse d'être applicable. On s'en servira alors, pour calculer le digamma complet du module complémentaire , et l'on aura recours à la série (5) pour déterminer le nome complémentaire r. Cette série donne , en changeant q en r et 6 en c,

dénotant par u le second membre de cette équation , et remplaçant r par sa valeur en D(c) et D(i), on a

Mais H> "^ etc * étant une fraction très-petite , on peut prendre

/ r 9 H-etc.\ r»

d'où

substituant à w sa valeur r-+-r°-4- etc., l'erreur <f aura pour valeur, le rapport r 9 : ( r+r 9 ) log.(^a) , ou r 8 : (l-*-r*) log.(^), c'est-àdire qu'elle sera au plus de l'ordre r 9 .

La formule que nous venons de trouver, servira à calculer les digamma complets, depuis c=sin. 68°. 6 jusqu'à c=l . Pourc=sin.63°.6, on a log.vulg. r=i2. 18878, et, par conséquent, log.vulg. r 9 =17.24857; ce qui donne la mesure de Terreur.

§ 139. La différentiation des diverses séries mentionnées au § précédent, en produit une infinité d'autres , au moyen de la relation

que nous allons démontrer.

Posons , pour abréger ,

la différentiation de la transcendante q f donne immédiatement

Mais , d'après le § 70 , on a

E = t'D-4c»^, db

et , par conséquent , en permutant b et c,

E' = c'D' - i'c^- • dc

On tire de ces deux équations, en remarquant que — ^ >

rfD' c a D' — E'

dc ~~ fc'c '

substituant ces valeurs dans l'équation (9) , on obtient

^(ED' + E'D - DD ) = — . ^ ; oV ' xq de 1

ce qui devient la relation (8), en vertu de l'équation (11) du §60 (*).

O Legendre donne la relation (8) , dans le deuxième supplément de son Traité, page 110 ; mais il a écrit par erreur — jt , au lieu de -+- Il y a aussi dans la 18- formule de la même page, {îkk')\ au lieu de (2*ft')l ; ce qui rend fautives les deux formules suivantes qui s'en déduisent.

Cette relation , appliquée aux formules (2) et (8) , donne respectivement» par sa combinaison avec l'équation (10) ,

g -f- V 9g 9 16g 16 etc. = 2 ™(E — b*D)\/™ ,

d'où

9 0 g ^ 25g" ■+■ etc. = A- y/^[E(l— 1/5) -+- (yï— o')D].

En retranchant de cette série l'équation (5) , et en posant , pour abréger ,

/•on —

on trouvera ce résultat :

8 s » + etc. = -|^— J-p

d'où l'on tirera, pour expression de l'epsilon complet,

E ,^C-«V)r 16 8^ etc.-, V ' 2a L a 4C — «VJ

Le terme 8g 9 étant divisé par un binôme qui s'évanouit avec g, il est assez difficile d'évaluer a priori l'approximation que donne la formule (11). On peut, cependant, assigner la limite vers laquelle convergel'erreur, à mesure qucle nome devient plus petit. Remarquons , à cet effet, que le développement de a suivant les puissances de q, est donné par la formule (2) : quant au module complémentaire , qui entre dans la valeur de C et de y, si Ton fait £=0 dans l'expression de a rapportée au § 125 , on trouvera

1 — V— V-*- ctc *