g -+- 2g 4 2g 9 -4- etc

Supposons, maintenant, que Ton prenne g assez petit, pour qu'on puisse négliger toutes ses puissances supérieures à la première,

dans x et dans 4C — «*y : on aura, avec une exactitude suffisante,

et par suite , en faisant toutes les substitutions et réductions nécessaires ,

ce qui donne le résultat connu : E=- 1 lorsqu'on fait g=0 , après la suppression des facteurs communs. Ainsi, Terreur de la formule (11) pourra être représentée, en général, par une quantité de la forme ag 8 , a ayant pour valeur particulière 32 , lorsque g =s 0. Pour avoir une autre valeur de a , nous avons pris c=sin.45° : en faisant le calcul , nous avons trouvé

log. vulg.f— - ■ ) = ÏÔ.B888023 ; \4aC— oPy]

d'où nous avons conclu pour ta, la valeur 31.53 : on peut donc prendre , en toute sûreté , 82g 8 pour mesure de l'erreur, quelle que soit la grandeur du nome.

Si le module était très-voisin de l'unité , on se servirait de notre formule pour calculer E(i) , afin de conclure E(c) de E(6) , au moyen de la relation (11) du § 60.

§ 140. En combinant l'emploi des formules que nous venons de trouver, avec la méthode des modules décroissants, on obtiendra une approximation extrêmement rapide et illimitée. L'erreur de la formule précédente, par exemple, étant de l'ordre 32g 8 , quand il s'agit du modulée, elle ne sera que de l'ordre 82g 16 , pour le modulée,. En général , chaque transformation modulaire doublera, au moins, le nombre des décimales exactes. Dans le cas particulier de E(sin.45°), la transformation de E(c) en E(c,) permet de calculer la fonction proposée , avec vingt décimales exactes : une transformation de plus en donuerait au moins quarante et une.

§ 141 . L'application de la méthode des nomes au calcul des transcendantes eps. y, kal.(0, c, ? ), kac.(0, c, ^), exige que l'on considère séparément le cas où le module est très- voisin de l'unité. C'est pour-

quoi, nous avons eu soin de joindre aux développements des transcendantes cherchées, suivant les puissances du nome, des séries qui procèdent suivant les puissances de son complément. Veut-on calculer, par exemple, l'epsilon incomplet? Si le module n'est pas trop grand, on pourra choisir entre les formules (27) et (28) du § 129 : si le module est voisin de l'unité, on emploiera la xformule (35) du § 133. S'il s'agit d'un kappa logarithmique, on le réduira h deux upsilon que l'on calculera , soit par la formule (29) du § 129 , soit par la formule (A') du § 13-4; soit encore par la formule (h) du § 133, si le module est voisin de l'unité. Quant aux kappa circulaires , les formules^) et (g') du § 132 , sont vraisemblablement ce que l'analyse peut offrir de plus parfait pour leur approximation (*).

(*) Le&endre, Traité des fonctions elliptique», 2 ro< supplément , page 152.