IG

etc.

DIFFERENCES

etc.

DIFFERENCES

etc

La première colonne représente les fonctions w t , t* aî etc. ; la seconde les différences premières am,,, Ati, , Au a , etc.} la troisième les différences secondes aX > ♦ ctc « i et amsl de *u»te.

Remarquons que , dans cet exemple , les différences troisièmes sont constantes. En général , la différence de Tordre n de la n mo puissance d'une variable indépendante r , est constante cl égale à 1 .2 . 8 ...n.

On démontre même que toute fonction rationnelle et entière de x, a toujours une différence constante, savoir celle de l'ordre marqué par la plus haute puissance de s.

Des équations (1) et (2) on tire , par des substitutions faciles,

« a — t* 0 2ai* 0 -h a*w 0 ,

« 0 -f- 8aw„ -4- 8a'» 0 -+- û\,

etc. ;

d'où l'on conclut généralement

ce qu'on peut vérifier aisément au moyen de l'équation

qui donne, en remplaçant u„ par sa valeur fournie par l'équation (3),

» w+1 =*„-+- y a« 0 + 1 ^ a 9 « 0 ■+- etc.

AM 0 -4- - A'tt,, -H etC.

= M„-f — - — At*o-+- ^— -4- etc. :

ce qui prouve que si la loi supposée a lieu pour l'indice », elle aura également lieu pour l'indice »-t-l. Ainsi, cette loi ayant été observée pour les indices 1,2,3, elle s'étendra nécessairement à tous ceux qui les suivent.

§ U3. La formule (3) a pour objet principal l'interpolation des suites; opération qui consiste à insérer entre les termes d'une suite , de nouveaux termes assujettis à la même loi que les premiers. Insérer des moyens, par exemple, entre deux termes d'une progression par différences, ou d'une progression par quotients , c'est calculer des termes qui répondent a des valeurs fractionnaires de l'indice ; c'est interpoler.

Le problème de l'interpolation revient , comme on le voit , à déterminer l'équation d'une courbe , par la seule condition de passer

par un certain nombre de points donnés ; ce qui ne saurait s'effectuer complètement , à moins que la courbe ne soit donnée d'espèce , puisqu'on peut trouver des courbes très-différentes , qui se coupent en tel nombre de points que Ton voudra. Parmi toutes les courbes , celle dont l'équation se prête le plus facilement à la condition prémentionnée, est la parabole indéfinie, caractérisée par l'équation générale y = a-+-/3j?H-<y^ a -*- etc. ; et la théorie des osculations fait voir que cette courbe peut , dans un petit espace , approcher sensiblement d'une courbe quelconque , surtout lorsqu'il ne se trouve pas de points singuliers dans cet espace. Pour fixer les idées , nous prendrons un exemple dans les tables de logarithmes. Supposons que, par le moyen d'une table contenant les logarithmes depuis 1 jusqu'à 1000 avec dix décimales, on veuille avoir le logarithme vulgaire de 8. 14 15926586, nombre très-approchant du rapport delà circonférence au diamètre : on regardera alors les logarithmes contenus dans la table , comme les ordonnées d'une courbe parabolique , dont les abscisses seraient les nombres correspondants , comme dans le tableau ci-dessous :

Or , si l'on pose

(5) y=x+frv+rx J -hto 3 -*-ex* ,

on aura, pour déterminer les coefficients a, /3, y, <J, *, les cinq équations

y t , = a+&X 0 +yx 0 1 -t-crx 0 3 -i-ex 0 * , y, =a+/3T I -f-yx I ' + c£r i 3 -f-f:r t 4 , y a = x-^&x^yx^-^Sx^-y-ex^ ,

y 4 = x+Px^+yxf + Jxf+ex^ :

ces coefficients une fois connus, il suffira de remplacer x par sa valeur 8.1415926586, dans l'équation (5). pour trouver son loga-

rithme y, avec une exactitude d'autant plus grande, que cette équation contiendra un plus grand nombre de coefficients.

Nous allons faire voir, maintenant, comment la formule (3) peut remplacer, avec avantage , le procédé simple , mais laborieux , que nous venons d'indiquer. Soit u = f(x) une équation entre les variables u et x, telle que u devient

lorsque x se change en

•r 0 , a? 0 H-A, x 0 -h%h, x a +nh :

on p ourra regarder u 0 , u,, etc., comme les ordonnées M o P 0 , M,P X , M 2 P.,, etc., des n points isolés M„, M,, M,,...M„ (fig. 8), dont les abscisses x a , x 0 + h, x 0 -+ 2A,.....r 0 -4-nA, seront représentées par AP 0 , AP,, AP, , ...AP„. La relation entre l'ordonnée u n d'un point isolé quelconque M n , et u 0 , sera exprimée par l'équation (3) en fonction de w 0 , de l'indice n, et des différences W,U l = i« 0 , M, H, — M,H, = a'm 0 , etc. Si nous posons

x 0 -+- nh = x'— AP„,

il en résultera

nh = x' — x 0 = IÏ> n — Â"P 0 ==A'; d'où » = et la formule (8) devient , en désignant u„ par «', ... , A'- A'(A'-A) a A'(A'-A)(A'-2A) ,

A la rigueur, elle ne convient qu'aux points tels que M 0 , M,, M a , etc., pour lesquels ^-est un nombre entier; mais si l'on regarde »' comme une ordonnée générale, ét x' = A', comme l'abscisse correspondante, l'équation (6) pourra être considérée comme celle d'uue courbe continue M (l M t M,...., assujettie seulement à passer par les points M oî M,, M a , etc., et, jpar conséquent, elle se vérifiera pour les valeurs fractionnaires de^-,qui correspondront à des points de la courbe, autres que M oî M,, M 2 , etc. La courbe dont il s'agit est une parabole du degré n ; car il est évident que l'équation (6) renfermant toutes les différences jusqu'à l'ordre », cette équation est du n me degré en A', et, par conséquent, du même degré en x'.

§1-44. Pour appliquer la formule (6) à l'exemple mentionné au § précédent, nous remarquerons que le tableau (4) donne

au 0 = + 0.0013809057, = - 0.0000048769,

^ Uo = -+ 0.0000000277 , i*u<, = - 0.0000000003 ;

et comme

on obtiendra

h'-îh