SA

avec ces valeurs, on trouvera pour m',

Prenons un second exemple, qui nous sera fourni par les tables elliptiques. On trouve qu'à l'angle du module 0=15°, répond le logarithme vulgaire de l'epsilon complet E ,

- log.E = 0. 188 689 625 530,

et ces mêmes tables donnent , pour différences successives ,

à log. E(15°) = - 0. 000 099 288 552, A'Iog. E(15°) = 0. 000 000 654 834, A 3 log. E(15°) = - 0. 000 000 000 101 ,

l'angle 0 croissant par dixième de degré. Supposons que l'on veuille avoir le logarithme de l'epsilon complet correspondant à l'angle du module 0=15° 3S=15°.05 : nous ferons

j0"6' ' h ~ je»' ;

doit

= + 0 . 8 , -• . — — 0.1», -.___ + o.eM.

— Alog.E(IS°)=: — 0. 000 049 619 276,

A 3 log.E(15°)=-+- 0. 000 000 081 854, a 3 Io C .E(15*)=- 0. 000 000 000 000 625.

A retrancher de log. E(15°) — . . . 0. 188 639 628 530, la quantité 0. 000 049 537 422 ,

il reste: log. E(15°,3') = . . . 0. 188 640 088 108.

Ces exemples suffisent pour faire voir comment on interpole les tables à simple entrée.

§ 145. Les diverses valeurs que prend une fonction de deux variables, produisent un assemblage de séries , formant une table disposée comme celle que Ton attribue à Pythagore. Voici, pour exemple, une table qui résulte de la fonction

u = 5 -f- ar 7 -h 2tfy 3y\ Pâleurs de x.

etc.

etc.

etc.

etc.

etc.

etc.

rte.

de.

«te.

etc.

C'est là une table à double entrée, parce que pour en designer un terme particulier , il faut donner le numéro de la colonne verticale qui le contient , et celui de la bande horizontale. Nous écrirons ces numéros , en indices au bas de la lettre désignant la fonction : ainsi u min dénotera l'état général d'une fonction de x et de y; u Q , 0 la valeur qui répond à x — x Q , y — y 0 ; w 3)î celle qui répond à x<=x Zl y=y 4 , etc. ; ce qui produira le tableau suivant :

Pâleurs de x.

Considérée séparément , chaque bande et chaque colonne de ce tableau forme une série, dans laquelle le rang d'un terme quelconque ne dépend que d'un seul indice, savoir m pour les termes d'une même bande , et n pour ceux d'une même colonne. Les différences de ces termes se prennent donc comme à l'ordinaire ; mais il faut distinguer celles que produit la variation d'un indice, de celles que

produit la variation de l'autre ; et pour cela , on écrit au bas de la caractéristique a , celui des indices qui varie. Ainsi

- " » * m »m+i t n — = A >«,n » etC. ;

Si dans la formule (S) , on change n en m, et qu'on écrive t*„, 0 à la place de w„ , on obtiendra

•*«,o = W n,o H" -yA m f»,„ 0 H ^2 A ««*o,«^ A m W o,o H- etc.

Pour étendre ce résultat à telle bande horizontale qu'on voudra, il suffira de substituer au second zéro qui tient la place de », le numéro de la bande. On exprimera, par exemple, u lu ) au moyen des quantités w 0(3 , A m M 0>3 , A*M 0t3 , etc. , relatives à la quatrième bande; et, dans une bande quelconque , on aura

m m(m— 1) . m(m— 1)(m— 2) 5 "«,»=»„,„ yiJ' + — ^«o,,, + A m t* 0 ,„ •+■ etc.

Mais , «n considérant à part la série des valeurs contenues dans la première colonne , on aura aussi

n n(n — 1) a n(n-1)(n-2) , «o 1H = M o,«+ |-A,.«„,o + -^~ i A> 0 , c + — a> 0 , 0 h- etc. ;

et, si l'on substitue cette valeur de w 0i „ dans l'équation qui précède, on tombera sur les expressions

A m (A.fO> A *(Vo,o), Am(AÎli.,.),

dont la dernière dénote q diflerentiations par a , relatives à l'indice n, suivies de p diflerentiations relatives à l'indice m, et peut être abrégée en l'écrivant sous la forme \ p *^ w 0 ,o : au moyen de quoi il vient

fw,„„ 4 =Wo,o-*--y \ l «o,«H 1 2 --A m W 0 ,o-+ A m U 0 ,o-4-etC.

n rwn i+i wi(m— \)n 3-4-1

''•î^ tt M+ n V« , 21 m,« "o,o-+-etc.

-4- etc.;

,„«„,. + etc.

formule qui exprime le terme général de la table, par le premier terme u„, 0 et ses différences partielles, qui se forment de la manière suivante :

Les termes du tableau , considérés dans chaque bande en particulier (c'est-à-dire pour une même valeur de n), donneront, par le procédé qui nous a fourni le tableau relatif aux cubes (§ 142) , les nouvelles séries

etc.

etc. , répondant à

A m Wo.3 >

Si Ton retranche maintenant la première de ces séries , répondant à n=0 , de la deuxième , qui répond à n=l ; puis celle-ci de la troisième , et ainsi de suite , il est clair que les restes exprimeront des différences par rapport à n, et qu'on aura, suivant la notation établie,

A l+l ttoo,

Wo,o j

etc. ,

répondant à n = 0;

etc.,

etc.

Retranchant encore ici la première ligne de la deuxième, la deuxième de la troisième , et ainsi de suite, les restes seront des différences secondes par rapport à n, savoir :

a *« 0 ,o , a ' ( + a m O)0 , etc. , répondant à n = 0 ;

(10) { a> 0)I , A^> 0tl ,etc, n=l;

etc

En effectuant , sur ce dernier groupe , les mêmes soustractions de lignes que sur les précédents, on formera des différences troisièmes par rapport à n, savoir :

A*t* 0 o , etc. , répondant à n =0 ;

On poussera cette manière d'opérer jusqu'où il sera nécessaire : rassemblant ensuite les termes relatifs à w 0 ,o » qui composent la première ligne de chaque groupe, on aura toutes les différences indiquées dans la formule (7).

§ 146. Si Ton voulait appliquer ce procédé au premier tableau du § précédent , il faudrait commencer par former les séries (8). On a

d'abord :

Quand n = 0 ,

Valeur* de u ......... 5 6 9 14 etc.

Différences premières .... 1 3 3 etc.

» secondes 2 2 etc.

» troisièmes 0.

Quand n = 1 ,

Valeurs de u 8 U 16 28 etc.

Différences premières 3 5 7 etc.

» secondes 2 2 etc.

» troisièmes 0.

Quand n = 2 ,

Valeurs de u 17 22 29 38 etc.

Différences premières 5 7 9 etc.

>. secondes 2 2 etc.

troisièmes 0.

Quand n = 8 ,

Valeurs de u 32 39 48 59 etc.

Différences premières 7 9 11 etc.

il secondes 2 2 etc.

troisièmes 0,

et ainsi de suite: de manière que les séries (8) ont, pour valeurs numériques,

5, 1 , 2, 0 . . . répondant h n — 0 ,

Les valeurs numériques des séries (9) se déduiront de celles-ci , et Ton trouvera

3 > 2, 0 repondant 5n = 0,

De ces dernières, l'on déduira les valeurs numériques des séries (10), savoir :

6,0 répondant à n = 0 ,

et si l'on voulait pousser l'opération jusqu'aux séries (1 1) , on trouverait zéro pour résultat.

Il suit de ce qui précède, que dans cet exemple on a

a> 0 , 0 =6, A '+> oo=0 ,

et

fonction qui devient identique avec celle qui a servi à former le tableau , si l'on remarque que les variables x et y ont précisément les mêmes valeurs que les indices m et n.

§ 147. Pour faire servir la formule (7) à l'interpolation des tables à double entrée , considérons, dans l'espace , un assemblage depoinls M, M', M", etc., tels que l'un quelconque M de ces points, ait pour ordonnée u nun , ses abscisses étant # m et y n . Si l'on suppose

• r . — #„ = — — #3 — x * — etc. = h ,

yt — yo = y, — y l = y i — y, = etc. = a ,

on aura , en général ,

d'où , en désignant x m et y n par x et y ,

En remplaçant m et n par ces valeurs dans l'équation (7) , celle-ci pourra être regardée comme l'équation d'une surface , dont les coordonnées courantes seront x\ y', et u m>n que nous dénoterons part*'. Cette surface sera assujettie à passer par les points 1VI , M', M", etc. , puisque ses coordonnées courantes x', y', u', admettent pour valeurs toutes celles de x my y„, w m)rt , qui répondent à des valeurs entières de m et de n. U s'ensuit, que la simple hypothèse d'une loi de continuité entre les x', y' et u\ de l'équation (7), suffira pour changer cette équation , qui ne représente qu'un nombre indéfini de points isolés, en celle d'une surface continue. C'est à quoi l'on parvient, en admettant qu'elle se vérifie pour des indices fractionnaires, ou, en d'autres termes , en admettant que x' et y' sont susceptibles de tous les degrés de grandeur imaginables. Posant donc, pour abréger ,

• r '— = y'-yu = *';

d'où

h' et h! devront être considérés comme admettant des valeurs quelconques, entières ou fractionnaires, et la formule (7) sera transformée en

11 h A " U ^-MÛr A »> U ^ HMJSh

k' kh' k'h'(h'-h) a+I

+ 1 *" U » lh -JUr^^n «o,o+ etc.

Jfe'(*'-*)(*'—2Jfc)

§ U8. Il nous reste à faire voir par un exemple , comment on peut appliquer la formule précédente à l'interpolation des tables elliptiques :

Soit proposé de trouver la fonction dig.(c, ^,), dont l'amplitude est tf— 54°.45', et dont l'angle du module est 0 = 60°. 15'. On tire d'abord de la table générale des digamma [Traité des fonctions elliptiques, tome II , page 343) , les données suivantes :

Valeurs de 0.

co.

Regardons 0 comme x m et f comme y„ : nous aurons

Par les différences prises dans la première ligne verticale , on trouve

Mo o = 1.06018 2905, a„ Wo , 0 = 0.02461 1435, 4> 0)0 = 0.00030 6598 , a> 0)0 = 0.00000 7432.

Par les différences prises dans la deuxième ligne verticale , on trouve

m i o = 1.06346 3234, ^n^i.i» == 0.02485 7725, aX i0 = 0.00032 2486.

Combinant ces résultats avec les précédents , on en déduit

Par les différences prises dans la première ligne horizontale , on a

w 0 0 = 1 .060 1 8 2905 , A m u 0 , 0 = 0.00328 0329 , aU 0 ,„ =- 0.00001 5205 , A^ Mo ,o = — 0.00000 5860. Par les différences prises dans la deuxième ligne horizontale , on a

« =1.08479 4840, a m M 0(1 = 0.00852 6819, *lu 0il J=- 0.00001 3219.

Retranchant aU 0 ,o de A> 0 „, on aura le terme a]£> 0 , 0 , qu'on trouvera égal à - 0.00001 8219 + 0.00001 5205 = 0.00000 1986. Cela posé, si l'on se borne aux différences du premier ordre, on aura

dig.(c, ? ) = u 0>0 + 1 * m u^ -h * A,».,. = 1.07946 15685 : ajoutant les termes du second ordre , savoir :

ii'«xi A ,+ 'tt, 0 - L A » Uoo= 0.00001 88617, il viendra

dig.(c, f ) = 1.07948 04252.

Enfin , ajoutant encore les termes du troisième ordre

= — 0.00000 05411, on aura , plus exactement ,

dig.(c, ? ) = 1.07947 98841.

La méthode des modules croissants a fourni à Legendre , pour valeur de la même fonction ,

dig.(c, f )= 1.07947 98929;

mais il ne faut pas se dissimuler que l'interpolation donne rarement des résultats aussi exacts que dans cet exemple. Il peut même arriver, qu'en tenant compte des différences troisièmes, on obtienne un résultat moins exact qu'en les négligeant j ce qui aura lieu lorsque la correction qu'on aurait tirée des différences quatrièmes , surpassera celle qui provient des différences troisièmes. En général , l'usage le plus ordinaire des tables elliptiques à double entrée, sera de faire

trouver la valeur des fonctions , avec quatre ou cinq décimales seulement; et pour cela , on n'aura besoin que des différences premières , que Ton pourra toujours prendre à vue.

§ 149. Passons maintenant à la construction des tables elliptiques: La méthode la plus avantageuse pour la construction de ces tables , nous parait être celle que les astronomes connaissent sous le nom de méthode des quadratures mécaniques. Voici comment elle est exposée par M. DePontécoulant, dans sa Théorie analytique du système du monde (tome II, page 105):

Soit y une fonction quelconque de x, et

ce que devient successivement cette fonction , lorsqu'on suppose

x = 0 , x = x , x — 2 a , . . . . r = nx :

désignons par Ay c , Ay t , etc., les différences finies de ces quantités prises deux à deux ; par A*y u , A 'y, , leurs différences secondes , et ainsi de suite; en sorte qu'on ait

(y— yo=±y v , ^y,— Ay 0 =A*y 0 , A 'y,— A'y^A^y,,

(WMsr.-y^y. > A y>- A y«— *'y. . A 'y — *'y.=* 3 y. .

on en conclura généralement , comme au § 142 ,

(U). y,— yo-*-^y 0 -*- t 2 ^y 0 ^ — Al y«+«^.;

formule qui sera très-convergente, si les différences Ay u , A a y 0 , A 3 y 0 , etc., décroissent avec beaucoup de rapidité.

Cela posé , on peut regarder y = /*(.r), comme l'équation d'une courbe parabolique , dont y représente l'ordonnée et x l'abscisse. Cette courbe passera par les extrémités des ordonnées équidistantes y 0 , y t , etc., et l'on aura d'autant plus de facilité pour la tracer, que ces ordonnées seront plus rapprochées : y n dénotera l'ordonnée qui répond à l'abscisse quelconque x = nx , et Jy n dx sera l'aire indéfinie comprise entre la courbe et l'axe des x. Si dans l'équation (14), on substitue à la place de n sa valeur ^ , on aura

x x(.v — a) x(x — x)(x — 2jc)

y „=„„ + - iy „+ __,. yo + ______ V+e .c.

Multiplions cette valeur par dx y et intégrons-la depuis ar=0 jusqu'à x=a : l'expression résultante sera celle de l'aire comprise entre les ordonnées y 0 et y,. On trouvera, de cette manière,

i*'* - i4 A V. - ™^o- ^A^-etc.].

De même, pour l'aire comprise entre les ordonnées y x et y aî on aura

* V, H AVi — — A a y, -I- ~i Vi i 4 v, h A 5 y, — etc. t

et ainsi de suite

En prenant donc la somme de toutes ces valeurs , pour l'aire totale comprise entre les ordonnées y 0 et y n , il viendra

fyàx = a (y c h- y, y, h- -+- y«-i)

2( A yo-^Ay, + Ay a + -*-Ay„.)

etc.

On a d'ailleurs

A y D -+- A y t -+- A y> ■+■ ay„-i=y,,— y 0 <

A 2 yo-*- A 'y.+ A:, y>-+- H-A'y«-r= A y«— A y«>

etc. :

l'expression précédente devient donc

fydx — a Uy 0 -+-y,-t-y a -H -+-y„-i -Hy,,)

Sx,

— etc.

§1ôO. La détermination des différences Ay n , A'y n , etc., qui entrent dans cette formule, dépend des quantités y n+I , y„-4- a , etc. 7 tandis qu'on n'est supposé avoir calculé ces ordonnées que depuis y 0 jusqu'à y„. Ce serait un inconvénient pour la pratique ; mais on peut l'éviter, en donnant une autre forme à cette expression. Pour cela, remarquons que des équations (13), on tire les séries suivantes, dont chacune doit être censée continuée jusqu'à l'infini :

ay„ =^y n -^^yn-^^y n -i -»- etc., * a y» = i'yn-*-*- 2. ±*y„-3+ 3. A 4 y—4+ elc - » Aî y„ = * 3 y«-i-»- s. ^y*-*-*- 23 ^y*-»-*- etc -»

etc ;

d'où l'on peut conclure généralement

A'y„ = A<y„ f -t- tAH-i y,,,,., * ' a'-m y n ,, etc.

Si l'on substitue ces valeurs ( qui ne dépendent plus que des quantités y„, y„, , etc. ) dans la formule (15) , on aura

y^rfjr = «(|y 0 + y i H-y a ^- -H y„-i + iy„)

19jt / 3 1 *

Le premier terme de cette série représente , comme il est facile de le voir , la somme des petits trapèzes compris entre les ordonnées y©» yn'*" y ni somme qui approchera d'autant plus de l'aire de la courbe parabolique , que les ordonnées seront plus rapprochées , et leurs variations plus petites.

§ 151. Si Ton désigne par U A le premier membre de la formule (15), U„ représentera l'intégrale jydx prise entre les limites y c et y lt . Dénotons par U„^, la même intégrale entre les limites y u et y, M , ;

pour déduire IW.de U n , il suffira de changer neon+1, et l'on aura

— U a = | (y„ y „+,)-- -jl ( Ayi|+I Ay J

-»' (* W. - A'yJ - (A 3 y«-4-. - A»yJ

d'où Ton tire , en réduisant ,

*[*. + - ïï* ■*• -7ÏÔ 4 + TëÔ 4 f«- etC t

§ 152. Supposons, par exemple, que l'on veuille construire des tables de la fonction upsilon , pour tous les degrés de l'angle du module et de l'amplitude : ayant posé

on aura

/ » rf y ep..(c, ? ) y l/|-c'«n.', y

eps.(c, v )

=y, #=arc y , a=arcl«-,

t/l — c sin.'y

eps.(c,0°) cps.(c,l°)

l/l-c'sin.'O" !/l— c'sin.'l

cps.(c,2°)

y 3 , etc.

c'sin. a 2»

On commencera par construire une table de la fonction y, pour tous les modules, depuis y 0 jusqu'à y g5 , afin d'avoir A 3 y : on calculera ensuite la fonction T de degré en degré , au moyen de la formule (17). Seulement , lorsque l'amplitude ? ne sera que d'un petit nombre de degrés , cette formule ne sera pas suffisamment convergente. Dans ce cas, on aura recours soit à la formule (19) du § 66, que l'on peut toujours rendre applicable par des calculs de bissection , soit aux méthodes d'approximation exposées aux chapitres XI et XIV.

Nous avons vu au § 66 , qu'à la rigueur il ne faudrait calculer les upsilon que depuis y=0° jusqu'à y=arap.^5^ } puisqu'il est facile de déduire ï amp.( D — p ) de ï amp./>. Mais si la fonction T amp./?, que nous supposons connue, répondait à un nombre exact de degrés , ce n'est, que par hasard qu'il en serait de même de la fonction Tamp.(D — p). Ainsi, au delà de la limite amp,^), on ne pourrait faire procéder la table de degré en degré, que par des interpolations, plus laborieuses peut-être que le calcul direct de la fonction. Quant à l'upsilon complet ï amp. D , sa valeur s'obtiendra par la formule

Tarap.D — £DE — $ log.o,

qui , jointe à la formule

ramp.(D — p) = Y amp.p E(£D — p) -+- log. ,

pourra servir à vérifier les résultats obtenus par le calcul direct.

§ 153. Il faut remarquer que tous les éléments nécessaires pour calculer la fonction y, sont donnés par les tables elliptiques. En effet, la fonction epsilon a été calculée par Legendre, pour tous les degrés de l'angle du module et de l'amplitude, et le radical V 1 — c a sin. a ç> — d 7f ? > se déduit de cette même fonction avec beaucoup de promptitude , au moyen de la formule

du

— h = âu — £a'm-4- Ja 3 m — i A 4 « -4- etc. ,

que nous démontrerons au § suivant.

Voici un exemple de la détermination du radical au moyen de la transcendaute epsilon , pour le cas où

? = 1 0° , c = V~l = sin . 45°,

valeur du module qui nous permettra de faire usage de la table II de Legendre , qui procède par demi-degrés. Nous ferons observer que les différences secondes et troisièmes de la fonction epsilon sont négatives, et que nous avons désigné par u l'epsilon de 10°, et par h l'arc de 0°.o, dont la valeur, en parties du rayon, est 0.00872 66462 6.

Type du calcul.

au = 0.00865 72774 41 iA't»= 0.00000 84400 35

Somme. . . . 0.00866 07174 76 $A 3 tt = 0.00000 01058 69

Différence. . . 0.00866 06116 07 = N.

En employant les logarithmes vulgaires ,

log. N = 3.93754,85 log. h == 8.94084 71

Différence . . . T.99670 14

= log.V^l — c a sin.'y.

Vérification.

21og.sin. 10° = 8.47934 04 log. 2 = 0.80102 99

Différence 8.17831 05 = log.sin.'r

log. sin.t> = 9.08915 52 log. cos. v = 9.99670 14

= log. l/l — c a sin. 3 ?.

§ 154. Voici à peu près comment M. Lacroix (Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral) démontre la formule

(18). . . . ~j~h s= ^ u — ^ A m -h ji m — etc. :

A l'aide du théorème de Taylor, le développement des différences d'un ordre quelconque , pour une fonction quelconque , s'obtient sans difficulté. On a premièrement, en faisant f[x)=u, f(x-*-h) — f(x)=.iu,

du h <Tu h" dhi /t 3

lu = — • — h • 1 • 1 etc. ,

dx 1 dx' 1.2 rfr 3 1.2.8 '

et si, dans cette équation, on met successivement An, a 3 m, a 3 w, etc., au lieu de u , on formera les expressions

d\u A d'àu A 1 &sh A 3

A 7 u = • — h • — -i- ♦ -i- etc. ,

dx 1 dx* 1.2 dx* 1.2.3

A M = — • ~ H — - -4- CtC. ,

dx l dx' 1.2

</a 3 m A A 4 W — - — r etc. ,

dx 1

etc. ,

au moyen desquelles le développement de chaque différence se déduit de celui de la précédente. On obtiendra d'abord

a "m = • 1 • h • -4- etc.

dx' I c£r 3 1.2 dx* 1.2.3

dhi A 3 dhi A 4

~7~7 * *+- ~T~, ' etc -

dx 1 2 ri** 2.2 d 4 u A*

— • — -f- etc. ;

rf.* 4 2.8

et , en général ,

A', A", etc., désignant des coefficients qui ne dépendent que de n. Cette équation devant subsister pour toutes les formes que peut prendre la fonction w, elle conviendra nécessairement au cas où u = e Jf ; mais alors ou a »

du du d^u dx dx' dx 1

àu = e x+h — ei* = e x (e h ~ 1), ± >u = e*+*> (e'<- 1 ) - e*(e*— 1 ) = (t*+* -e»)(e*- 1 ) = e*(e*- 1 )\ A »» = c*+ A (c*— 1 ) 1 - e*(c*— 1 )•= e r (e* — 1 ) 3 ,

substituant cette valeur de a"m, dans le premier membre de l'équation (19), et celles de ^ , ^ , etc. , dans le second , on obtient

(e A — 1 )" = A" -4- A'A«+' •+■ A"A«-+-» etc. ;

d'où il suit que les coefficients A', A", etc., doivent être les mêmes que ceux du développement de (c''~ 1)", puisque l'accroissement A doit demeurer indéterminé.

On sait d'ailleurs que

e x = 1 -4- — h h h etc. ,

et il suit de cette formule , que

^A du h du' A a du* A 3

e < ^ x = I h • — i • i • 1- etc . ,

+ dx 1 + djr' 1.2 1.2.3

(20) .. + - I « - • r - ^ • — h- ^ • j 2 g + etc.

Si , maintenant , on transporte les exposants des puissances de du à la caractéristique d, le second membre de l'équation précédente deviendra

du A d°u A a d 3 u A 3

— • — h • — ■+- - • etc..

dx 1 dr J l.*2 ^ ^ 1.2.3

et sera la même chose que au : on aura donc l'équation symbolique

dit

(21) su = — 1 ,

et , en général ,

en observant toujours de transporter à la caractéristique d, les exposants des puissances de du. Cette dernière formule se vériGe sans peine, par la comparaison de l'équation (19) avec l'équation (20), dont on élève les deux membres à la puissance n, si l'on remarque que nous avons démontré que les coefficients numériques de A, dans le développement de a"«, sont les mêmes que ceux du développement

de (e 7 ' — 1)", et les mêmes , par conséquent, que ceux du dévcloppe-

ment de (</'' — 1 )".

§ 155. De l'équation (21) on tire

du

—h = log. (1 -+- au) :

dx

Lagrange a encore reconnu que cette équation serait vraie , si clans le développement de log. (1 -4- aw) , on transportait les exposants de Au à la caractéristique a ; ce qui donnerait l'équation (18), en prenant X = <f.

Au lieu de s'arrêter à démontrer ce cas particulier , M. Lacroix prouve qu'en général

^A^log^l-f-Att),

en changeant Ai* a , ai* 3 , etc., en A a u, a 3 w, etc., ou bien

— A"=ul«g.»(l H-A),

sans rien changer au développement.

Il est visible que la question revient à déterminer les coefficients différentiels , -j-, etc., en fonction des différences successives de «, et que pour cela on a des équations de la forme

A"tt= — — A" h- A A"+«-hA"- h»+> •+■ etc.,

dx n dx n ~+- 1 dx"-*-*

d n +*u tf"-*- 2 t*

a»+'m= h n +* h- A'. A»+» etc.,

dx n+t dx"+ 2

dn+*U f

A A"+ a -4- etc. ,

fan-*-»

etc.,

dans lesquelles les coefficients différentiels ne montent qu'au premier degré : on peut donc faire

(23). . A n = A"M-^B'A'H-'M-f-B"A«-*- ï U-f-B" / A'»+3M-f-etC.

dx n

On obtiendrait facilement la valeur des coefficients inconnus B', B", B'", etc., par l'élimination successive de

— A» H , /*»+* , etc. :

mais , puisque l'équation hypothétique (23) doit avoir lieu quel que soit m, elle subsistera encore lorsqu'on y fera t*=e x ; ce qui donnera

quelle que soit la valeur du nombre entier s l'on trouvera , par conséquent,

(24) . . h n = (c* - 1 )"-+- B'^'— !)»+«-*- B"(e*— 1)»+* -f- etc.

Pour mettre en évidence l'identité des deux membres de cette équation , il suffit d'observer que

(25) A-=log.»(l +e*-l):

or, le développement de log.(l + 1) suivant les puissances de e* — 1, qui est

eh- 1 ± (c A 1)' + 1)5 - i(e*— 1)« h- etc. ,

étant élevé à la puissance «, deviendra comparable à la série

(e*—l)" -f- B'(c*—l)«+i -4- B"(e*— 1)»+» -f- etc. ,

dont les coefficients numériques B', B", etc., seront, par conséquent, déterminés. Si Ton écrit àu à la place de e A — 1 , et ^"A" à celle de A n , dans les équations (24) et (25) , celles-ci coïncideront avec les équations (23; et (22) , en transportant, comme nous l'avons dit, l'exposant à la caractéristique a.

En faisant, pour abréger, e 7 ' — 1=*, et développant

(a— §* 3 — i a 4 h- etc.)"

suivant les puissances de a, on obtiendra les valeurs de B', B", etc.

§ 156. Nous n'entrerons pas dans de plus grands détails sur la construction des tables elliptiques. On peut voir , soit dans le tome III des Exercices de calcul intégral, soit dans le tome II du Traité des fonctions elliptiques , l'exposition des méthodes employées par Legendre , pour calculer ces transcendantes avec tout le degré d'approximation que peuvent donner les grandes tables trigonoraétriques de Briggs. Dans aucun autre ouvrage, peut-être, on ne trouvera des exemples de calculs numériques , dirigés par des formules aussi propres à abréger le travail , et exécutés avec un aussi grand degré de précision.