CHAPITRE XVI

Réduction de quelques intégrales aux transcendantes elliptiques.

§ 157. La nature des fonctions elliptiques étant connue et approfondie , il importe de ramener à ces transcendantes , le plus grand nombre d'intégrales qu'il sera possible. Comme la multitude en est infinie, nous nous contenterons d'indiquer, d'après Legendre, quelques-uns des cas principaux où cette réduction a lieu.

T. On peut réduire aux fonctions elliptiques l'intégrale

Pdx

Vx+èx*-\- yx k ■+- <fx G

dans laquelle P est une fonction rationnelle de x.

Car si l'on fait x*=z, on pourra supposer P = M-f-N Vz , M et N étant des fonctions rationnelles de z , et l'intégrale proposée deviendra

%J V 'az+Qz'' -+-ys :i -t-cte 4 J V ' a.-\-$z-\-yz -t-cte 3

dont les deux parties sont comprises dans les fonctions elliptiques. II. Toute formule

Vdx

dans laquelle P est une fonction rationnelle de x f peut se ramener aux fonctions elliptiques.

Car on peut toujours faire P = Mh-Njt, M et N étant des fonctions rationnelles paires de x. Considérons la partie

Nxdx

si l'on fait i^a Sx 1 -*- yx* = z ; ce qui donne