IV. On peut réduire aux fonctions elliptiques la formule

fVdx{a -\- Cr -4- yx* -+- Sx 3 )^ ,

P étant une fonction rationnelle de x.

Cette réduction peut se faire de plusieurs manières : et d'abord , si l'on fait Tune ou l'autre des suppositions

Va. -4- Cx -4- yx '' dx 3 = -+- z , V x -4- Cx •+• yx' -f- dx* == XV ê ■+- s,

la transformée en z sera comprise dans les fonctions elliptiques. On peut aussi faire disparaître, à volonté, le coefficient a ou le coefficient d sous le radical : il faut faire, pour cela, x=m+y , ou x—m+- -, et prendre pour m une racine réelle de l'équation a-4-£M»-4-'y/n*-4-«fm 3 =0. Supposons qu'on ait fait disparaître de celte manière d: alors, on fera a •+- Sx ■+■ yx* = a 3 ; ce qui donne

^ C -4- V — kxy h- Âyz*

sr

et , en substituant cette valeur dans la formule proposée , toute la difficulté se réduit à intégrer une différentielle de la forme

Qdz

V 'C — hzy-\- Ayz*

Q étant une fonction rationnelle de z.