V. On peut réduire aux fonctions elliptiques la formule

Vdx

y a -4-/3^-4- yx* -4- dx % -+- yx* -4- /3x 5 -4- ax*

P étant une fonction rationnelle de x.

Car si l'on fait x*-*~ 1 — xz , cette formule deviendra d'abord

Px~~ *dx

Vc{z? — %z) H- 0(V — 2) -4- yz -4- d

ensuite, comme on a #= *3±||/*' — 4, cette valeur étant substituée dans P, le résultat sera de la forme M rb Ni/s^T , M et N étant des fonctions rationnelles de s. De plus , on a

x — 1 — x*Vz — 2 ,

<lonc , toutes les substitutions étant faites , la formule proposée sera composée de deux parties, Tune de la forme f^^/ ^ ^" a»J 1 Z étant une fonction rationnelle de s, et Q désignant le polynôme a(s 3 —3z)-+-&{z'' — 2)-t-r* W; l'autre étant de la formey === ,

Z' étant aussi une fonction rationnelle de z. Donc, la transformée en z sera intégrable par les fonctions elliptiques. VI. On pourra intégrer de môme la formule

Vdy

V yy 1 ■+■ cfy 4 ■+■ yy 6 -+- Cy 8

P étant une fonction rationnelle de y.

Car si l'on fait P = M-t-Ny, M et N étant des fonctions paires de y, et qu'on appelle 1\ le radical , la partie rentrera dans le cas précèdent, en faisant a = 0 et y " = .r. L'autre partie ■ ^' - , se réduit pareillement aux fonctions elliptiques, en faisant y 1 = x.