X. Soit proposée la formule

-fi

f+g cos. y h sin. ' dans laquelle f, g, h, sont des constantes , et Q désigne une fonction rationnelle de sin. f et de cos. y.

On fera d'abord s = 2i-+-»î, et on prendra l'indéterminée tn, de manière que tang.«t=^: alors la quantité f-\-g cos. ?-t-Asin. y, deviendra de la forme ar a = /"±<jr'sin. a r< , et l'on aura

Qdf = (M -+- Nsin.^cos.-^cty , M et N étant des fonctions paires de sin.*. La partie KJ '- sin ^ cos ^ peut être rendue rationnelle, en remplaçant sin.f par sa valeur en x: ainsi, il ne restera à intégrer que la différentielle ■> et il est évident que celte intégrale ne dépend que des fonctions elliptiques. XI. Si l'on a , plus généralement,

J j/(^H-/3cos. ? -t-ysin. ^H-^cos. J ? -+-esin.ycos. î >-t-Çsin. , ? ) '

Qétantunc fonction rationnelle de sin. f et de cos. y, onferalang.| r =a; ce qui donnera

2s \ — z> îdz

et la transformée en s ne contiendra qu'un radical sous lequel la variable ne passera pas le quatrième degré : elle sera donc généralement réductible aux fonctions elliptiques.