XII. Soit

ix -+■ Csin. v ' r ) l/y h- /sin.'p

Q étant d'abord une fonction rationnelle paire de sin.? t si Ton fait

tang. r = m tang.f , m étant une indéterminée, on aura

m* sin.'ii wicty

sin.> =—r-T-— —77, <*? =

m J sin. £-+-cos. a ^ ' f/t'sin. 3 ^-*- cos.^

et la transformée sera

/InQdp J RR' '

dans laquelle on a pris

IT == sin.> cos.*^) C »n a sin.> , R"=z r (»M*sin.'4» cos.'f) -+- âm* sin.'<p.

Soit «mV , ou m" = , on aura R'R' 1 = A -+- Bsin.^ 1

A et R étant des coefficients connus, et l'intégrale sera réduite à la forme

mQrlp

fy

|/À-»-Rsm. V

dans laquelle Q sera une fonction rationnelle de sin. a ^/ : ainsi elle sera ramenée aux fonctions elliptiques.

Celte solution suppose la quantité cc(x-\-C) positive : si elle ne l'était pas, non plus que <y[y-\- à) qui pourrait la remplacer, on ferait simplement sin. ^=^; ce qui donnerait

s* Qdx

et cette formule , où Q peut être supposée une fonction rationnelle de x f est ramenée au cas 1 er , dont nous avons indiqué la solution.

On peut même supposer que Q est une fonction rationnelle quelconque de sin. ? et de cos. y : alors Q se réduira toujours à la forme Q'-*-Q" V l—x s , dans laquelle Q' et Q" seront des fonctions rationnelles de x, et l'on aura

z= /- + r ( *' dx

J V 1 — x\Vx+Gx\ l / y+^' 1 J V a+Sx\V?y+dx* intégrales qui rentrent toutes deux dans les méthodes connues.

INOTES.

NOTE PREMIERE. , Voici un exemple de ces développements : Soit la fraction proposée

/°Qc? ? p Asin.^-f-Bsin. 4 ?-*- Csin. 2 ? -f- D J A ~~ J Esin. 8 ? H-Fsin. 6 ? 4-Gsin. 4 f -hHsin.^

en posant , pour abréger ,

il viendra

Asin. 6 ^-+- Bsin. 4 y-i- Csin. 9 ?-t- D

asin.'y-f- Csin. 4 ?-*- ysin. 6 p-t- cJsin. 8 y Égalant le dénominateur l-*-asin. a y-t-esin. 4 9-t-etc., au produit des quatre facteurs

1 h-h' sin.> , 1 Wsin.'y , 1 +»"' sin.*? , i -*-n" sin.'? , on aura, pour déterminer les coeflicients inconnus n', n", n'", n lr , les relations

n ' + n" + n'" + n" = *, «V'+»V'V»V v +w'W'Vn'W v -*-n"'n IV = C, »'»"•"'+ n'n"n lv -f- «V'V V + n"n"V v = y,

»VVV T = rf; ce qui fait voir que ces quantités sont les racines de l'équation

n 4 — an 1 •+- Sti 1 — yn -+- f= 0.

Si deux de ces racines, n' et n" par exemple, étaient égales, on poserait

À sin. 6 ^-+-B sinA-t-C sin. a ?+D lH-Asin. 3 ^-t-^sin. 4 ^-t-rsiu. 6 f+^sin. 8 y A' B' C D'

" (lH-n'sin.%) 1 1-t-n'sin. 9 ? 1 +n"' sin. a y l -t-n ,v sin. a ^ ' et l'on déterminerait les coefficients A', B', C et D', par les procédés connus.