C-*-Dsin. a o df

"7fî

( A -4-0C) -h (B -f- oO) sin. 'y l/l—c'sin.'©

il est inutile de s'en occuper, puisque cette forme rentre dans le type

•A •+- B sin.'©

C + Dsin.> c'sin.*f

Nous essaierons tout à l'heure de ramener à un même type les trois transcendantes nouvelles que nous venons d'obtenir. §8. Ce type est la formule générale

•A-t-Bsin.*? df

nsm.'y ^1— c a sin.>

qui renferme les trois indéterminées A , B et n.

Les transcendantes qui s'y trouvent comprises portent le nom de fonctions elliptiques. Nous verrons au § 29 l'origine de cette dénomination.

Elles peuvent toutes s'exprimer par les trois intégrales

, /d f VT^fm.y , l/l-c'sin.'» J

1/ 1 r sin.'©

df

(l -+- n sin.' ©) V\ — c' sin. a s

En effet , pour n = o, on a

H = /(A-4-Bsin.» df

J l/l-c'sin.>

= f A ^) f / d? - ~ \ fd'r |/l-c"sin.>; l c'/ y |/l c '.in. > c ./

et, quand n n'est pas nul ,

n y V/l — c sin.>

An — B

y (l-+-nsin.» V\

■c sin. y

Delà, la division des fonctions elliptiques en trois espèces distinctes, représentées par les trois intégrales précédentes.

Nous dénoterons dorénavant le radical V \ — c a sin. 1 ? par A et aussi par A (f) et A (c, ?) lorsqu'on le regardera comme fonction de f ou de c et de f. Ce radical est toujours positif, car il ne devient jamais nul ou inOni , et pour qu'une quantité positive quelconque devienne négative, on sait qu'elle doit passer par zéro ou par l'infini.

La transcendante H étant une fonction de j> , son étendue dépend de cette variable qu'on appelle l'amplitude : la constante c , toujours plus petite que l'unité, s'appelle le module (*).

On pourra représenter c par sin. 5, et 6 sera dit l'angle du module. En même temps |/l — c% que nous désignerons constamment par b, pourra s'appeler le complément du module,

La constante n qui n'entre que dans les fonctions de troisième espèce,- et qui peut être positive ou négative, réelle ou imaginaire , se nommera le paramètre.

(*) Ce mot désigne aussi le coefficient constant au moyen duquel on passe d'un système de logarithmes à un autre. Pour éviter toute équivoque, nous ne remploierons jamais dans cette dernière acception , sans en avertir expressément.

Lorsque ce paramètre sera exprimé au moyen d'un angle , comme lorsqu'on pose n = c sin. A, n = — c' sin. 'A, etc. , cet angle sera dit Vangle du paramètre.

Nous appellerons digamma , epsilon et kappa les trois espèces de fonctions elliptiques, et nous les désignerons par les notations abré-

dig.(c, f ) = f— ======. =f-^ .

J V\ — c' sin.> J M c > v)

eps.(c, f ) == J *d ? V\ — c 1 sin.> ==^* a(c, - r )rf v ,

kap. (», c, :== f— — = f- 1 .

J (U-nsin.\)j/l-c'sin. s y J ( ! -*-«Mn.»A(c,f)

Dans la comparaison des fonctions elliptiques qui ne diffèrent que par quelques-uns de leurs éléments, on pourra faire abstraction des éléments communs. Ainsi , par exemple, à la place des équations

<%• (c, f) <%• (c, = dig. (c, ^u),

kap. (n, c, ? ) + kap.(n, c, = kap.(n, c, ,*) ,

on pourra écrire plus simplement

dig. o -+- dig. ^ = dig./*, kap.j» -4- kap. kap./*.

Puisque les transcendantes elliptiques sont des fonctions de leurs amplitudes , on peut regarder à leur tour les amplitudes comme des fonctions de ces transcendantes. Ainsi, en posant dig. (c, f) = p, on aura

3>:=amp. (c,/>), sin. *=sin.amp.(c, p), $>) =Aamp. (c,/>),elc. ;

ou simplement , quand le module est partout le môme ,

? = amp.p, sin.p = sin.amp./?, A = A arap.p.

§ 9. Les propriétés communes aux trois espèces de fonctions elliptiques sont :

1° De s'évanouir avec leur amplitude.

Pour le démontrer, nous écrirons la formule générale H sous la forme

H==/(;AH-Bsin. * v ) (1 h- n sin.' v ) -1 (1 — c' sin.'^)~^ mais

(1 -+-n «in. = 1 -4- x sin.'p h- x sin. 4 ? -f i" sin. 6 y -+- etc. ,

(l — sin/ ?)~* = 1 -f- £shi.'p -f- C' sin. 4 ' r -4- C" siu. 6 ? -4- etc. ,

a, a', etc., étant des fonctions entières de n, et C, etc., des fonctions entières de c\ Faisant le produit des deux séries précédentes et de A sin. 1 p, on obtiendra pour résultat une série de la forme

A -t- A' siu.> -+- A" sin. 4 ç> -4- A'" siii. 0 ? -4- etc.,

A', A", A'", etc. , étant des fonctions de A, B, n etc*, qui ne deviendront pas infinies tant que ces coefficients ne le seront pas euxmômes. Or, il est aisé de voir que si, dans la dernière série, on remplace le sinus par son développement en fonctions de l'arc , le résultat sera de la forme

A -+- A, f -4- A, -4- A 3 f G -t- etc.,

et que l'on pourra appliquer aux coefficients A,, A a , \ v etc., la remarque que nous venons de faire sur A', A", A'", etc. En substituant au coefficient de d? sous le signe f\e développement qui précède , l'intégration donnera pour valeur de H

H = A - -4- A. — - -4- A. — A, — - -h etc. -4- const. : 1 '3 '6 7

et comme le second membre de cette équation s'évanouit, à la constante près, lorsqu'on y fait ? =o, on pourra supposer cette constante nulle en attribuant à la fonction H la môme origine qu'à son amplitude (*).

(*) Il n'est pas permis de supposer pour toutes les fonctions qu'elles s'évanouissent avec la variable. L'iutéprale f—^-— log. y, par exemple, au lieu «le devenir nulle quand ? = o, prend alors uue valeur infinie. On ne peut donc pas toujours prendre zéro pour valeur de la constante arbitraire.

2" De changer de signe avec leur amplitude, en conservant la même grandeur.

En effet , dans la fonction générale H , la différentielle df change seule de signe quand on écrit — f au lieu de f.

3° De n'avoir besoin d'être calculées que depuis ? = 0 jusqu'à

Pour le démontrer, soit f un angle quelconque : on pourra poser

f = f r dr et

i étant un nombre entier et a un angle qui n'excède pas 90°. D'où

df == rfc da, sin.? == ± sin.«cos.«V , et par conséquent

sin. a y =sin.'«:

substituant h df et h sin.'y ces valeurs dans la différentielle de H, il viendra , en intégrant ,

H (f) sa const. ± H (a).

Mettant au lieu de ? sa valeur tV ± a dans celte équation , puis faisant a = o pour déterminer la constante , on aura

H (t> ±«)«H (tV) ± H («) ; d'où 1 on tire aisément , en faisant a = 2 et i =■ 1 ,

H (r).SH (^) , H («-5) -«H (|) , et en général , en donnant à i et à a des valeurs convenables ,

Par conséquent , puisque

on en conclut

H(tV±«)==2tH ^ij ± H(«). La fonction déterminée qui répond à l'amplitude v= 2 est donc,

en quelque sorte , la fonction devenue complète. Nous la désignerons par

D , ou D(c) quand nous la considérerons comme une fonction du module c, pour les digamma ;

£ ou E(c) pour les epsilon;

K ou K(n, c) pour les kappa :

de manière que nous aurons

On verra par la suite ( §§ 16, 28 et 50) que les fonctions elliptiques peuvent être représentées par des secteurs de courbes fermées, symétriques par rapport à deux axes rectangulaires comme l'ellipse. L'amplitude , qui n'est autre chose que l'angle du secteur, se compte à partir du même axe que le secteur, et la fonction complète est le quart de l'aire totale. Les propriétés précédentes sont évidemment la traduction algébrique des propriétés géométriques de ces secteurs. Le secteur BCDF {fig, 1), par exemple, compté à partir du demiaxe AB, est égal à deux fois Taire BAC plus le secteur DAF, égal à son opposé par le sommet BAR , compté à partir de AB. Le secteur BCDS" = 4BAC — BAS", et BAS" = BAS si l'angle BAS" est égal h l'angle BAS compté de B en S; et ainsi de suite.

§ 10. Avant d'aller plus loin , nous ferons une remarque importante sur une transcendante que l'on rencontre fréquemment dans la théorie des fonctions elliptiques. Cette transcendante est représentée par l'intégrale