J 1 - GY

Si l'on considère — ? comme le carré de qV — 1 , on aura

P = • arc (tang. = Cp V — 1 ) const. ;

ce qui devient , en vertu de la relation générale

arc ( tan S- = * V/^î ) = * log. ({37)

qui lie les fonctions circulaires aux logarithmes ,

1 , M+-ty\

p = Te ,08 * \T^) - const - ;

mais si l'on effectue l'intégration en décomposant le dénominateur 1 — G^p* en ses deux facteurs 1 -+- Gp et 1 — Gp, on trouvera

const.

On comprendra ces deux valeurs de P en une seule formule , en écrivant

d'où il suit que si Ton veut que l'intégrale s'évanouisse avecp f il faudra déterminer le signe ambigu de manière à ce que P ne contienne point le logarithme d'une quantité négative.

§11. Occupons-nous maintenant de la discussion des trois transcendantes

/A •+- B sin. a v dj S* d? S* 1 df — / tang. 7 ±*. - , / -, C-4-Dsm.' ' f A ,/ A J a(L ■+- tang. ^ y a

qu'il s'agit de réduire aux fonctions elliptiques. D'abord, il est évident qu'à l'exception du cas où C serait nul, la première ne diffère pas de la fonction générale H , à laquelle on la ramène immédiatement en divisant les deux termes de la fraction par C. Quand C est nul , on a

/ A-t-Bsin.-v A p d- r B

Dsin. > ' ^ ~~ 5y sin.^.A D ' g * ? '

ce qui donne lieu à une nouvelle transcendante f^j^ '

Pour la réduire, je différence le produit a cot. f ; ce qui me donne successivement

— c 1 sin.e cos. 9. da cos.? d?

d ACOt.' f = r ~ - A.-^-l-

a sm.y Bin.'?

— C' COS. 3 ? rfy A'rfv

a a sin. a 9

— (c'sin. a ? cos.\+ a') a sin. y

rf ? rf y c'sin.' y .rf ?

(l-c'sin. 4 -,,)^ — +

Asin.\ Asin.' r d'où (*)

/' /^c' sin.'' r .rf- r — : = / a cot. - 7 = dig. - r — eps. ? — a cot. r . ASin.'y e/ A

La valeur de la seconde transcendante s'obtient en observant que

1 — cos.v (I — cos.-A' tan ff .'i ? = — = . , - ;