CHAP. I. — THÉORÈMES ET FOJIMULES AUXILIAIRES

On tpouvera par exemple

Regardons maintenant les n poljnomes du degré n - \ :

. ) f'Ax) ^ —— — (v = I, •>.. 5, . . ., n),

[)osons

■■ I f^{x) — r"-i -H ày^x"-'^ + . . . ^- a'^,^x" /'-' h- . . . -f- a'^L^ x -+- «'Jl, rt, par définition particulière,

l'identité évidente

fix) = {x-7.,)/^(x)

ilonnera immédiatement

qui nous conduira à des résultats essentiels dans la théorie des ■ i[uations algébriques.

En effet, multiplions respectivement par

I, ^v, .... ^'i, ..., ar-, oli; \

les équations

valables pour i p 'i n et tirées directement de (8), puis additionnons toutes les formules ainsi obtenues, il résulte

''9 ) (t'//' = "/;+ «/, 1 ^v-f-. . .-1- OiyJ'i'^ -+- a('.

Gela posé, introduisons les sommes des puissances semblables

s PRKMIEHE PARTIR. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

des nombres ay,, savoir

(10) s,n= a'," -+- y.'!' -i- . . . ■\- l'iW puis posons, dans (9), successivemenl

nous aurons, en ajoutant toutes les équations ainsi obtenues,

(11) «',,'' -H «//'-+-...-+- «^"'= n(if,-\- ay,iSi + . . .+ rt,i/,, + 5/;.

Soit jt> = //, la somme qui figure au premier membre de (1 1) a, en vertu de ( ^ ), la valeur zéro. Quant au.cas général, où p est supposé plus petit que /^, la somme en question est évidemment une fonction entière et rationnelle, symétrique par rapport aux nombres a^,; c'est-à-dire que nous aurons

où k est un positif entier, facile à déterminer.

En effet, remarquons que cip et «|^' contiennent respectivement

produits à p facteurs pris parmi les n nombres a.ç, il résulte

ce qui donnera •

k = Il — p,

et nous aurons finalement, en vertu de (11),

(12) s,,-^ a^Sj^^i -1- a-^Sj,-,-^ . . .-h aj,-iSi-i-/ia,,= o,

OÙ il faut supposer 1 ^p^ 11.

Soit ensuite/? >> //, savoir p z= m-\- n, la formule (2) donnera

d'où il résulte, en posant

puis, ajoutant les n formules ainsi obtenues,

(13) *^,H- rt,5/,,-|-. . .+ rt„ l,v^-,,^l + «,,.yy, „= o (p^n).

CIIAP. J. — THÉORÈMES ET TORMULKS AUXILIAIRES. 9

Les (Ieu\ formules (12) et (i 3) sont ducs à Newton ( ' ).

Soit maintenant /(jc) un poljnome quelconque du «'*''"• degré par rapport à x, on démontre dans l'Algèbre qu'il existe toujours n nombres

savoir les racines de l'équation algébrique

/(.r) = o, de sorte que

OÙ k désigne une constante par rapport à x.

Supposons que la formule ( i4) se présente sous la forme

où 'f (a) yé o, le nombre a est une racine multiple de l'ordre p de l'équation algébrique y(ic) = o, ou un zéro multiple de l'ordre p du poljnome entier /(a:^).

Cette définition adoptée, les formules (8) et (i 5) du paragraphe II donnent, en vertu de (i5),

remarquons ensuite que le dernier facteur qui figure au second membre a, pour x = a, la valeur

il résulte le théorème suivant :

I. Un zéro multiple de V ordre p du polynôme entier f{x) est un zéro du (p — jy«'"« ordre de la fonction dérivée f {x).