IV. — La fonction tp(n) d'Euler

Soit n un positif entier, décomposé en facteurs premiers comme suit :

(0 n=p'[^iy^^p'!^:^...p';r.

(') Arithmetica Universalis (De transmutatione œquationum).

lO PREMIERE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

nous .avons à déterminer le nombre o{n) des positifs entiers plus petits que n et premiers à n.

A cet effet, remarquons que les deux positifs entiers g et np -f- q, où p désigne un positif entier quelconque, sont en même temps premiers à n ou non, il est évident que le nombre des positifs entiers, premiers à n et situés entre les deux multiples pn et (/>+i)n, est précisément égal à ^{n). De plus, le nombre des positifs entiers, premiers à ?i et plus petits que pn^ est égal à /> ©(«).

Cela posé, regardons tout d'abord la puissance d'un nombre premier

l'ensemble des multiples dey;, égaux h n au plus, est

dont le nombre est précisément/?""', tandis que tous les autres positifs entiers plus petits que n sont premiers à n ; c'est-à-dire que nous aurons dans ce cas

(a) o(n)= p'^-p't 1 = /j«-' (p-i) = „(^i- ly

Considérons ensuite le positif entier

(3) 'H = piyy.^'....p';.r

contenant r — i facteurs premiers, puis supposons

(4) ^(ni)=p'!^-Hp2-i)p",^-Hps-f)--.p"/(Pr~^),

il est évident, en vertu de (3), que la formule (4) est applicable pour r = 2.

Remarquons maintenant que les nombres

Pi, 2/^1, J/?i. .. , — pi

Pi

représentent l'ensemble des multiples du nombre premier y>), égaux à n au plus, remarquons ensuite que le nombre de ces multiples qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiei's

/'2, P3, Pu, ■■■■ Pr

est précisément p'['~'cp(«,), il est évident que le nombre total des