JI

OÙ la fraction qui figure au second membre est supposée irréductible, nous savons, en vertu du théorème de von Staudt, savoir le théo- V^L . rème 11 du paragraphe LXI, que le dénominateur d,i^s^ ne peut jamais être divisible par/>.

Cela posé, introduisons dans (5), successivement

la conclusion ordinaire de /• à / -|-i donnera immédiatement la congruence

OÙ il faut supposer à la fois

tandis que le nombre premier p du lang jx ne doit pas être aussi du rang jj.. Le cas particulier p = 2'^.-{-i de la congruence (7) appartient à Kummer ( ' ).

,%C^ ' Appliquons maintenant la formule (21) du paragraphe LXIV,

nous aurons, en vertu de (-j),

et plus généralement

(,o) 2](-0^+-^^(n ("^''')'^'^+^-!^=« (mod/,X-,-.),

{') Journal de Crelle, t. il, i85i, p. 3G8-372.

CHAP. XIV. — LKS CONGRLENCKS DE KUMMKR. ?.77

OÙ il faiil supposer à la fois q <^\ — i el q <^p', ces deux dernières < on};ruences semblent être nouvelles.

On voit que la formule (9) est analogue à celles démontrées, dans le paragraphe précédent, pour les T» et les E,,.

Soit pîirticulièrement, dans (-), yo = 2[j. 4- i, /■ = !, il résulte

/iB„+.j.= (—!)!*(«-+- [jt)B„ (mod/))

ou, ce (|ui est la même chose,

^O) • 2«B„+.a.= (— i)!J-(2/i — i)B„ (mody>);

soit ensuite ii=2ni-\-\, savoir p=\m-\-3, nous aurons, en posant dans [i \ ), n = m-\- i, là congruence intéressante

112) \i3„,+i= B,„+i (mod p), /> = 4m-H3.

Revenons maintenant à la formule générale (7); nous avons supposé que le nombre premier p du rang ix ne soit pas aussi du rang n. Or, cette condition suffisante n'est pas nécessaire pour Icxistence d'une congruence de la forme (7).

En effet, prenons pour point de départ la somme de puissances

^{-iy'([']s,n+,Ma)=^s'^"(i-s-^\^)r;

soit ensuite p un nombre premier du rang jjl, et soit encore a%p — i , nous aurons par conséquent, quel (jue soit le positif entier /?,

2(— i)vf ' )S2„+2v!i.(a)sso (mod p').

Or, la formule de Jacques BernouUi, savoir la formule (22) du L, f/^l

paragraphe XXXYI, '

^^ ' ini-hi 2 .^■i/M — 2S -M V 2S / ^

278 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULU ET d'eULER.

donnera la congruence

(i4) S2,„(/?-i) = (-i)'"-'B„,/. (mod/>2),

pourvu que /? = 5, m ^ i ,

En effet, soit/? ^5, </ = 3, nous aurons toujours

-Lî— =0 (mod p^)\

on voit immédiatement que le cas le plus désavantageux est celui où p est du rang /', et où q est en même temps divisible par p. Or, soit p"^ la puissance la plus élevée de yo qui divise ^, le dénominateur de la fraction

supposée irréductible, est dans ce cas divisible précisément par p^+'j de sorte que nous avons à démontrer que q — 3 > a. Or, nous aurons évidemment

^^/?a=[n-(/> — i)]«èH-a(^-i),

ce qui donnera, pourvu que j»> 5, a^ 1 ,

Cela posé, nous aurons, en vertu de (i3) et (i4)j pourvu que v^a,

Soit particulièrement, dans (i3), n = o, l'égalité

So(/> — i) =/J — 1 donnera, en vertu de (i4),

('^^ \-'p ^^^-'>'^''''{'s)^^^' (modp).

Je n'ai pas réussi à démontrer que le premier membre de (i5) soit divisible par une puissance plus élevée du nombre premier p.

On voit du reste, en vertu du théorème de von Staudt et de