LXVIII. - D'autres congruences

En terminanl ces recherches, nous avons encore à indiquer quelques autres congruences d'une forme plus spéciale que les précédentes, mais utile pour nos recherches suivantes.

En premier lieu, prenons pour point de départ la formule (i3) du paragraphe XII, due à Euler,

(I) (an + i)B«= 2 (Ts)^^^"-^^

puis supposons que p = 2n-\-i soit un nombre premier, le théorème de von Staudt et Th. Glausen donnera immédiatement la congruence

(•>.) 2 B,B„,^(-i)« (mod/>),

car nous aurons évidemment

Supposons ensuite que p =z2n — i soit un nombre premier, nous aurons de même, en vertu de (i),

(•2/n-i)B„=2n(2/i — i)BiB„i=(— i)«-i2nB (mod />)

ou, ce qui est la même chose,

B„=(— i)"-«nBi (mod/?),

d'où, en remplaçant n par /J + i , ce ([ui donnera/? = 2n-\-i ,

(3) Bn^^{-l)nB, (^od/,),

ce qui est un cas spécial de la congruence de Kummer étudiée dans

28o DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE HKRNOULLI ET d'kULER.

le paragraphe précédent. J'ignore si la congruence générale peut être développée à ce point de vue.

En second lieu, nous avons à appliquer la formule de Jacques Bernoulli, écrite sous la forme

OÙ jo = 2/1 + I est un nombre premier, tandis que le positif entier a est au plus égal à p — i .

Dans ce cas nous aurons, en vertu du théorème de Fermât,

(mod p);

^la congruence spéciale qui correspond à « = i , savoir

(5) 2 (-O'^-B^-,-,^ (-!)«-> ^ (modp),

joue un rôle dans nos recherches sur les résidus quadratiques.

Appliquons ensuite la formule récursive (o) du para-

/iÇ? graphe XXXVIl, qui est aussi un cas particulier de la formule

de Bernoulli,

on p = 2n-{-i est un nombre premier, la congruence évidente

-( ^ )~^— — (mod o)

donnera immédiatement

En troisième lieu, étudions les deux formules (g) du para^

(:HAI>. XIV. — LES CONGRUENCF.S DE KUM.MER. îS I

graphe XXXVIII et (7) du paragraphe XXXIX, savoir /. /^ ^

OÙ ^ = 2 /î -|- 1 est un nombre premier, nous aurons immédiatement les congruences

{-) T„+,^En+i'^^{-i)" (modp),

qui représentent un cas spécial des congruences (9) du para- Jt.'^^'Pfgraphe LX VI. " f '

Introduisons encore, dans la dernière des formules récursives susdites, n — i à la place de /^, puis supposons que n soit premier, il résulte

(8) E„= I (mod n).

Cela posé, la formule (i i) du paragraphe XXXVIII ^'

donnera, en vertu de (8),

(9) T„+iEEs2 (mod n),

où n est supposé premier.

En dernier lieu, étudions la formule (9) du paragraphe XXXIX h, l»o

puis supposons premier le nombre /?= 2 /i -f- 1 . il résulte la con-

a82 DEUXIÈME PARTIK. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'eL'LER.

gruence remarquable

(10) T„=E„ (modp).

La congTuence (8) a été observée par Stern ('), dans son Mémoire assez étendu sur les nombres d'Euler.

(') Journal de C relie, t. 79, 1875, p. 86.