APPLICATIONS DES POLYNOMES SYMÉTRIQUES

LXIX. — Formules générales de première espèce. Supposons que les zéros

du polynôme entier du /î'*™" degré

satisfassent aux conditions

où p désigne un nombre complexe, différent de zéro, mais arbitraire

(lu reste, nous avons, dans le paragraphe XXIV, démontré les for- L. ^%

mules générales

"='ï<-K,/r.,)(-rr^'''-

>8/i TROISIÈMK PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.

Posons ensuite

/ 5,. = af -4- a'o-H- afj -4-. . .+ a'„,

les développements du paragraphe susdit donnent les formules analogues

(11) (-i)'[»>.+i-/'(''+^)si'-]

(1,) ,-iv.,..,=|(:.,(-,f)(f)"--..,T„.

De plus, nous aurons, en vertu de la formule de Newton,

(i3) *,.— ai5r-i-l- a2«/--2 — •••+(— ij''"'«/--i*i+ ( — i)''rrt,. = o,

où il faut supposer l'^r^n.

Cela posé, les formules (4) et (9) donnent immédiatement le théorème général :

I. Soit p un positif entier, et soient tous les coefficients as des nombres rationnels, dont les dénominateurs sont premiers avec p, nous aurojis les deux congruences

(i4) rtî,.+i = o (mod^), o^/-^ ;

(i5) S2/-t-i = o (mod/>), o'^-i'S--^

CHAI». XV. — AI'l>MCvT10.NS DKS POLYNOMhS SY.MKTRIQUliS. '>.6.)

En efïet, on voit, en \ertu de (i3), que les sommes de puissances s,, sonl aussi des nombres rationnels, dont les dénominateurs sont premiers avec p.

Désignons plus généralement par

une fonction rationnelle et entière, homogène et symétrique des /i nombres a^ et d'un degré impair, savoir 2N+ i, tandis que tous les coefficients numériques de *P sont des nombres rationnels, dont les dénominateurs sont premiers avecyy, nous aurons de même

(17) <ï>(ai, aj, .... a„) iO (modjo).

En elFet, la fonction en question se présente sous la forme «I> = SAa.p vrt*, a^, ..., al,

où les coefficients numériques A^, p,...,v sont des nombres rationnels, dont les dénominateurs sont premiers avec p, et nous aurons de plus

c'est-à-dire que l'ensemble des exposants

contient toujours un nombre impair au moins.

Gela posé, il est très facile de démontrer cet autre théorème jiénéral :

II. Supposons remplies les conditions indiquées dans le ihéorème /, puis supposons que les coefficients fis satisfassent aux conditions ultérieures

(iS) air~=o (n\od p), i^/-^;ji,

nous aurons les trois autres congruences

(19) a2,.+, = 0 {moA p^), iî/'=[Ji;

(■>o) 52,. =0 (mod/)), ilr^ij.;

( y, 1) 52,.4., = o {moà p^), i£r^;ji.

En effet, appliquons les formules (4), (i3) et (9), il est évident

;>.S6 TROISlIiME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THEORIE DES NOMBRES.

que les trois congruences en question sont des conséquences immédiates de (i8).

Plus généralement, on aura de la même manière

(aîi) 'I>(ai, «2, . . ., a„) = G (mod p^), ilN^[Jt..

Appliquons de nouveau les formules (4), (9) et (i3), il résulte le théorème suivant :

III. Supposons remplies les conditions indiquées dans le théorème II, nous aurons les trois congruences ultérieures

(25) £lr^2,.^ (mod/p) i^r^u..

Prenons maintenant pour point de départ la formule (i3), nous aurons cet autre théorème :

IV. Ajoutons aux conditions précédentes que p soit premier avec [ji ! , les congruences

(26) S2/-=o (mod/>), i|/'j^[ji£/i

entraînent les autres congruences indiquées dans les deux théorèmes précéden ts.