LXX. — Formules générales de seconde espèce

Pour donner une autre application essentielle des polygones symétriques nous prenons pour point de départ le polynôme entier

(i) /(^) — ^^"-+- «lar^'t-i-f-. . ,+ «2^-1^ + «2«

du degré 2/ï, dont les racines

(•■i) «1, aa, «3, ..., a2„

CIIAP. XV. — APPLICATIONS DES POLYNOMES SYMÉTRIQUES. 287

itisfont aux conditions

OÙ p désigne un positif entiei-.

De plus, nous posons

/,) ^(X) z=z (x — ai) (X — X-i) . . . {.T — Xn)

= X"— biX"-^-i- biX't-^ — . ..-H ( — iy^-Uj,i-iX -+- ( — i)"b„, ce qui donnera, en verlii de (3),

le sorte que nous aurons

Cela posé, il est facile de démontrer le théorème :

I. Supposons que les y.s soient des nombres rationnels, différents de zéro, dont les dénominateurs sont tous premiers avec p, puis supposons

(fi) a,„^(-i)8 (mod/>),

nous aurons de même - 62 = (— 1)''+8 (mod/>).

En efiet, la formule (5) donnera, en vertu de ( i),

lu K est un nombre rationnel, dont le dénominateur est premier |vec />, ce qui donnera immédiatement la congruence (7). Quant aux congruences (4) et (7), nous aurons cet autre léorème :

II. Soient, conformément au théorème précédent, )) «2«=(— U^+T'Q/''

ïous aurons

■'.88 TROISIÈMK PARTIK. — AI>I>LIC VTIONS SU» LA TIIÉOKIE DES NO.VIBUKS.

OÙ nous avons posé pour abréger

a, aj a„

Quant à la démonslralion do ce théorème, remarquons ([ue les formules (8) et (9) donnent immédiatement, en vertu de (10),

Q;,hs6„6„, + (-i)"Q,, (inod p).

De plus, nous aurons évidemment

6„6„ -1 = b},\,i -- (— i)""^^^vj ( inod /?),

ce qui donnera la congruence (i i).

Or, il est possible de pousser ces recherches un peu plus loin, en démontrant un troisième théorème, savoir :

m. Soit^ dans la congruence (10), /? -[- 0 un nombre pair^ il résulte

(i3) 6„ = ±i (modyo);

posons ensuite

nous aurons

(i5) ■iQ;;^^n-i)^>'/.-(-')"+^Q/' (mod/>).

En effet, les définitions (i i) et (i4) donnent

aQ;-^(-O^Q',. (n.odp),

et la formule (11) conduira immédiatement à la congruence (i5). Nous avons encore à étudier les deux sommes de puissances

[ s,. = a', -f- ai' -+-... + af, , s^ — n.

A cet effet, appliquons l'identité

Sr=s',+ {p — 'J.l)''.^(p— 3r2)r^...|(^.a„)'-,

ClIAP. XV. — APPLICATIONS DES POLYNOMKS SVMÉTBIQLES. 289

([iii est une conséquence Immédiate de (3), nous aurons, pour/'^i,

Remarquons ensuite que les formules de Newton

(iS) ^ *' — «l«/-«-^«î*r-2 — •••+(— l)''""'«/-l*l + (—0'"''«r=O, I «;— 6,5;.,-4- biS'r 2 — ...+-(— l)'-«6,.,5', -h (—!)'• /•6^=0,

OÙ il faut supposer i^/"^2/?., respectivement i -/' /i, montrent clairemeiil que les sommes s,- et s'^. sont des nombres rationnels, dont les dénominateurs sont premiers avec/>, il résulte, en vertu de (17),

( Sîr+i^o (mod p),

( Sir^ïs'^,. (mod/?),

où il faut supposer r^o. Soit ri.i, nous aurons de même

( 20 ) — — r£= — 9. rs'^ ,. , ( mod p).

Il saule aux veux que Ton peut déduire, de ces formules générales, un grand nombre de résultats spéciaux, très intéressants du reste, en choisissant d'une manière convenable l'ensemble des nombres a^.

I " L'ensemble des nombres

ou l'ensemble des nombres impairs

I, 3, 5, ..., vn — I.

2" L'ensemble des positifs entiers plus petits que y> et premiers avec p.

i" L'ensemble des résidus quadratiques ou des non-résidus qui correspondent à un nombre premier de la forme 4 ni-\-i .

Or, les ensembles que nous venons d'énumérer exigent des recherches plus étendues; c'est pourquoi nous avons à regarder dans les deux paragraphes suivants, d'autres exemples de polynômes symétriques.

NIKI.S MKI.SKN 19

790 TROISIÈME PARTri:. — APPUCAXrONS SUR LA TIIKORIE DES NOMBRES.