LXXIII. — Formules de Bemoulli et d'Euler

[.a détermination des sommes de puissances

où p et II désignent des positifs entiers, problème apparemment élémentaire, a occupé les géomètres depuis la haute antiquité, et le même problème occupe certainement, même dans nos jours, beaucoup de géomètres, dans leur tendre jeunesse.

Or, le problème susdit, apparemment parfaitement élémentaire, est intimement lié avec des problèmes qui sont à regarder comme les plus difficiles de la Théorie des Nombres, nous le verrons bientôt.

Quant aux résultats obtenus au cours des temps, les Grecs ont connu les formules

S3(^,=£li£^'=(S,(;,)l.,

formules qui ont fourni à Archimède le moyen de démontrer la

formule

Plus tard, les Arabes ont trouvé le résultat

OU, ce qui est la même chose,

(5) 5Sv(/>) = S,(/?)[()S,(;p)-i].

Dans cette dernière forme la formule en question est indiquée par Fermât; ce grand maître des nombres a du reste indiqué, le premier

A()Ci TROISIÈMK l'AHTlE. — APPLICATIONS SUR I.A THÉOUIE DES NOMBRES.

que je sache, une méthode générale pour les déterminations des sommes S/, (/>), méthode qui n'est autre chose que la formule de Lampe, savoir la formule (lo) du paragraphe LVI. De plus, Fermai a connu la formule générale

pn+i (6) Sn(p)= ^^-^'^a„^ip-\-an,%p^-h...-^-an,nP,

ce qui lui a permis de déduire la formule (3) pour une valeur quelconque du positif entier m.

Presque en même temps, Pascal a démontré, par la conclusion de n -d n-\-i la formule générale (6); sa méthode coïncide avec celle que nous avons appliquée dans le paragraphe LIX, pour démontrer la formule récursive du paragraphe susdit.

Or, c'est Jacques BernouUi ( ') qui a donné, le premier, la détermination générale de Sn{p), en indiquant^ sans démonstration, une formule de la forme

<7) SAp)=^^^-^^-^-i\^-=^^^^(''^')B.pn-.s^^.

De plus, Bernoulli indique les valeurs générales des dix premières des sommes S^ {p)i savoir :