CIIAI». XVI. — LES SOMMES DE PUISSANCES

tableau qu'Euler ( ' ) a continué jusqu'à S, o (/>); déplus, il a calculé les premiers coefficients de l'expression générale de S» (/>) jusqu'à celui de la puissance />""=** (*).

La première démonstration générale élémentaire de la formule (7) semble être due à Andréas von Ettlngshausen (=') qui a appliqué les principes du calcul aux différences finies, mais cette démonstration est restée complètement inaperçue.

Gauchj (*) a de nou\eau démontré la formule (7) et en a donné plusieurs applications intéressantes, tandis que F. Arndt (^) semble avoir appliqué, le premier, l'équation aux diflerences finies

(8) s,.ip)-S,Ap-i)=p\

méthode qui est intimement liée à notre démonstration de la formule en question, savoir en appli([uant la fonction B„^i (x)de BernouUi.

Quant à l'introduction d'une variable complexe au lieu du positif entier/^, nous pouvons nous borner à renvoyer le lecteur aux indications données dans le paragraphe XV^.

Les sommes alternées

ne sont pas étudiées avec le même empressement que les S„ (/>); c'est Euler («) qui a déterminé de telles sommes en donnant les formules générales

(.0) ,„(,) = 4i;f(lZip(^-^)T,.;,--.,

p^-"+^ ^(-ly-i /'2n^i\

(-i)"li-(-tnT„

(') Institutiones calculi dijfereittialis^ p. 09. Petiogiad, i-55. (') Ibid., p. 3i-33, 433 -'iS',.

(*) Vorlesungen iiber holiere Matheinatik, t. 1, p. 285. Vienne, 1827. (') Voir par exemple: ftésuinés analytif/ues, p. -i (Turin, i833); Mémoires- (le r/nstitut, t. 17, 1890, p. 262, 371, 4'|i.

(=■) Archiv de Grunert, t. 10, 18^7, p. 34:>-34'i.

(•"') Institutiones calculi (lifferentialis, p. 499- Petrograd, 17.').'».

■>.r)S TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES'.

Appliquons maintenant les sommes de puissances plus générales

/ <7n(ar,p) = (x-+-p— i)"— (a:r -+-/? — •>.)« 4- (a; -i-/) — 3 )"—...-!-(— i)/'-'.r'», ^o{x,p) = »

introduites dans le paragraphe XXXVI, il est évident que les formules

(i4) B„+,{x +y> - I) - ]i,,+,ix - 1) - '""^nl^^'

( i5) E„(^ 4-/> - I) - (- i)/'E„(a. - 1) = ^Ili^^

donnent une suite d'autres développements pour les sommes de puissances numériques.

En effet, appliquons tout d'abord les formules de Raabe, déveloj)- 6 0 ' pées dans le paragraphe XVII, l' hypothèse :r = o donnera, en vertu

.de (i4) et (i5),

( ■> n -+- \ \'in+i

s = Il

(,9) o.^t+^a^^+.ry.) = {ip + .)2-'+>+2 (- i>'('" ^ ') E,(v' + .)'"-2.-+' -(-1 )'+/'!,+,.