CHAP. I. — THÉORÈMES ET FORMULES AUXILIAIRES. 1 I

positifs entiers, premiers à n et égaux à n au plus, deviendra

<p(rt) =)0«. cp(/j, ) —y^^'i'i-» ç-(/;,) = /'',''"''/'! ^ i)?('«i)'

d'où, en vertu de (4),

0!i, ce qui est la même chose,

expression qui est de la même forme que (4); c'est-à-dire que notre formule est valable pour un nombre quelconque de facteurs premiers.

Ce résultat général relatif au nombre des positifs entiers, premiers à n et égaux à n au plus, est dû à Euler ( ' ).

Gela posé, nous avons à étudier d'un autre point de vue la formule (6). A cet effet, désignons par

les positifs entiers, obtenus en divisant n par r/ de ces facteurs premiers, ce qui donnera évidemment

désignons ensuite par

les produits correspondants des q facteurs premiers de n, nous aurons toujours

Ces définitions adoptées, il est évident que la formule (6) se prés«mte sous cette autre forme aussi

(Si cp ( /m - /«

(') Voir Commentarii Petropolitanœ, i.Vlll, 1760-1761 (1768), p. 74-104; Acta icademiœ Pelropolitanœ, 1780,11 (1784), p. i8-3i); Commentationes arilhmeticce, l. I, p. 274-28(3. Petrograd, 1849.

formule qui indique une règle très simple pour déduire de la suite

I, ■>., :i, ..., n l'ensemble des nombres

plus petits que n et premiers an.

Comme autre application de la règle susdite, posons

(10) S„, = a'," 4- y.'l' -+- af + . . . + a[J.',

(il) S,„ ( rt ) = I '" -t- -2 ■" -+- 3'" + . . . H- a'",

où a désigne un positif entier, nous aurons*, en vertu de (7) et (8), (19.) S,„=S„,(n)+^(-,)^ ^{rJiy''S,,,[n:;']l.

f/ = \ ' Vr^l )

Dans nos recherches suivantes nous avons à donner d'autres applications intéressantes de la règle susdite.