LXXIV. — D autres développements

Il est évident que les nombreuses expressions que nous venons de développer, dans nos l'echerches précédentes, pour les ^n{x) et les E,<(j7), donnent des développements correspondants pour les sommes de puissances que nous avons étudiées dans le paragraphe jirécédent.

Çr, nous nous bornerons à étudier les plus simples des sommes en question, savoir les S,; {p) et les o-„ (p).

En premier lieu, appliquons les formules (5) et (6) du paragraphe XVII, il résulte respectivement

où il faut supposer « ^ i , et où nous avons posé pour abréger

les formules (9) et (10) du paragraphe susdit donnent de même

, -. '> V^ (2/1 — 7.SM-2)3« + l « / „

fllAP. \VI. — LES SOMMES DE PUISSANCES. 3oi

La formule (i) est indiquée par Jacobi (•), tandis que ProulietC^*) a démontré la formule correspondante (5); remarquons en passant que ces deux formules se présentent aussi sous cette autre forme :

'7.) ^m+dp) = Ss(p) V a„,,.[ S, (/>)]"-'-',

<X) S,„(/>) = Sj(y>) 2 *«.rLSi(/>)|""'-'.

Doslor (^), qui indique quelques développements spéciaux de ce j^enre, n'a évidemment pas connu les formules générales de Jacobi ci de Prouhet.

En second lieu, posons pour abréger

il résulte, en vertu des formules (ao) et (afi) du paragraphe XXX'IH, n4i C .

Ladrasch (*) a étudié la dernière de ces deux formules et indiqué la dernière des relations (9), sans connaître évidemment l'expression générale du coefficient A„,p.

Or, il est très facile de transformer d'une manière intéressante, les développements que nous venons de déduire. A cet efl'et, prenons pour point de départ la formule (aS) du paragraphe XXVIII, A • iiC

(') Journal de Crelle, t. 12, i«3'), p. '7..

(-) Xome/le.s Annales, t. 10, iS.')!, p. i(,9.

( ') Nouvelles Annales, •}.• sJrip, t. 18, 1^79, p. 'p3-4<Î4, 5i3-5i8.

(' ) Jitlirhiicli liber die Fortschritte der Matheniatik, t. 18, 1886, p. -ii?,.

3oi TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA TIIKORIE DKS NOMBRES.

savoir

puis posons

ce polynôme est symétrique, et nous aurons de plus cp„,(o) = A„+,,„^i = (n -+- 1)! H„(o). Cela posé, il résulte les développements

( I .;. ) cp„, ( a? ) = 2 V A „+i ,,,. ( n - ■}. .V — I ) ! K,i ,,! (x).

(i3) tp„,(a;) = 2 V A„+,,2,+ ,(n- 9..S- -•>,)! lî„5,,(a7)-hK,

où riijpothèse X = o donnera

de sorte que nous aurons

(l4) 9n-l{p) = •>■^^n+\,îr+\S,^ ^.r-i{ p) + {n -^ ï)\ ?>n{o).

Ces remar([ues faites, nous aurons, en vertu de (12), 1 1=0

iC.) <

CHAP. \VI. — LES SOMMES DE PUISSANCES. 3o3

j .,„(,,) = -ildl^-p r V" A,„,,„..,>-,„.„-,r/,) + (- ,)'■(« + il (/. + i) B„J

les deux dernières de ces formules sont dues à M. Glaisher ('). En troisième lieu, posons

il résulte, en vertu de la formule (29) du paragraphe XXVllI, /7, f / ^

et la même mélliode (jue dans le cas précédent donnera ici

— ~ir~ — ^ "'*' ^^"-'^•-'*^P' 4 '^« » •

Quant aux sommes alternées <y„ (/?), les formules (35) et (36) du l, / 1 Si

paragraphe WVlll donnent f

j 7-=în — 2

(') Messenger 0/ Mathenuxtics, 2* série, l. 20, t>^o, p. i2o-i->8.

3o4 TROISIÈME PARTIK. — APPLICATIONS SUU LA THÉORIK DES NOMRIII'S.

OÙ nous avons posé pour abréger la méthode ordinaire donnera ici ces deux autres développements

^,n(p)=^p(p+l)\ 2, A.'2/ + lS.>.-2,.-a(/>)-^-^^^^