LXXV. — Formules récursives

Comme analogie de la formule classique

[s,(p)y-=SAp)

Jacobi ( ' ) a Indiqué cette autre

^ / r Or, il est évident que les formules ( i) du paragraphe \L\^ et (i

.Al du paragraphe XLVI, savoir

(,) / X (rt+/v-H/-— i)! l5„+/;,.(ar),

(') Briefwechsel zwischeii Gauss uiid Schumacher, I. 5, p. 2[)i).

CHAP. XVI. — LES SOMMES DE PUISSANCES. 3o')

OÙ m désigne le plus grand des nombres n et p ou particulièremenl //i = /t =p représentent des généralisations très étendues des formules numériques susdites.

En effet, soit dans les formules (i), x égal au positif entier a, 11 résulte immédiatement

d'où particulièrement, en supposant/» = n,

Stern ( ') a démontré la première de ces formules, par la conclusion de n à « + i , tandis que feu M. Lampe (-) a donné une démonstration élégante pour la formule en question.

Permutons maintenant dans (2) et (3), les exposants n et/j, il résulte des développements pour les expressions

les formules de ce genre, obtenues de (2), sont dues à Radicke (^).

Posons ensuite, dans (i), />= /i, puis cherchons les dérivées des

deux membres, nous aurons, en posant x=:a^ puis remplaçant n

(') Journal de Crellc, I. 8i, iK-;S, p. :2i6-:n8.

(') Ihid., p. y.-o-i-j^.

(') Journal de C relie, t. 89, 18S0, p. 261.

MKLS >'IEI.SI-:N'

SoC) TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.

par /i H- I ,

la première de ces deux formules est due à Radicke ( ' ).

Or, il est très facile de généraliser beaucoup les deux derniers développements que nous venons de donner.

A cet effet, multiplions les deux identités

.^-^-/^ Js:'fp\f!!:

il résulte un développement de la forme

ce qui donnera, pour le poljnome symétrique ainsi obtenu,

(') Journal de Crelle, t. 89, iSSo, p. 2G1

CHAP. XVr. — LKS SOMMES DE l'LISSANCES. 3o-

d'où, en supposant x égal au positif entier a,

-««(a-HO'M a-+- M =^ A2,.4-iS,„-^/, -;,..i(a),

Il première de ces deux formules est indiquée par M. Lampe. On voit que l'hypothèse p = i donnera les formules (()) et (7).

Il est évident que les formules développées dans le parai^raphe XX. donnent une suile d'autres formules contenant les sommes S«(/>) et <t„(/>).

En premier lieu, prenons pour j)oint de départ la formule (8) du paragraphe susdit, il résulte

l^-^Pn / X V '— 0'"' '^' / " \ C / X

La formule (12) du paragraphe XX donnera de même (/'il

(10) (i„(a) j/,(a) -H (— iY[n\9p{a) li^ro) +/>! j„(a) Ii:;,(o)J

enfin, nous aurons, en \ertu de la formule (i()) du paragraphe

ooS rnOISlKME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA TUÉOBIE DES NOMBRES.

susdit,

u i) H S,i-i(a)n,,(a)-h n\ P,„(o) cj^(a) 4- (— i)«/iS„ ., (a)/? ! Epio) - ï

La formule (9) est due à Lucas ('), tandis que M. Lampe (-) a retrouvé cette même formule et indiqué des développements analogues du produit de plusieurs sommes S,, (a).

Revenons maintenant aux développements généraux du j)ara- / 5^ . j;iaphe \XVII, nous avons à regarder les deux fonctions

Soit tout d'abord )n-{-n r=: 2/?, il résulte par consé(juent

tandis que riivpothèse m -\- n =^ -2 p — 1 donnera

m ! n ! xV' , -^ir-i / m\ H» «

(') Nouvelles Annales, 2" si'i-ic, t. l'j, 1S7.'), p. )ç)>-9():;. (^) Jjurnal de Crelle, t. <Si, 1S78, p. 27o-^7>.

ClIVP. XVr. — LES SOMMES DE PUISSANCES. Sog

Introduisons niainlenant, dans ces développemenls, le positif «Milier a an lieu de x, puis posons

[/(a)=^(—iyr^\a"-'S,n^r^a)= ^ s">(a — s)'t

ii — i

il résulte par conséquent pour m -f- n = 2p

'(rt) = (-ir"+/'-

tandis que l'Iiypollièsc m + « = 2/j — i donnera de même

Dans les quatre dernières formules, la sommation est à étendre jusqu'à ce que les coefficients hinomiaux qui figurent au second Mnembre disparaissent tous deux.

M. Glaisher (' ) a donné des développements de ce genre sans ^remarquer qu'ils représentent des généralisations des formules récurjsives incomplètes de Saalsclnitz.

(') Qiutitcrly Jounuil nj Ma' hem a tics, l. 31, 1^(19, p. •'11-J17.

3lO TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SLR I>A THKORIR DES NOMBRES.