VS

^'^^ ) ^ M3cp(M) (— i)vM2<|.,(M)

L'analogie entre les sommes S« que nous venons d'étudier et les sommes de puissances ordinaires peut être étendue plus loin encore. En effet, la formule (12) donnera immédiatement le théorème suivant :

1. Supposons que le nombre composé M ne contienne aucun facteur premier du rang n, nous aurons les congruences

\ S2« = o (mod M), ^^'^' \ S,„+i = o (modM2);

f^S,„+,^(-i)v-*-«-i(n+ij4;j„,(M)B„ (modM),

où il J a ut supposer n^i.

Les congruences

, S2„ s(— i)«-i J;.2„..i(M)B„M (modM),

1 S.2„+i = o (mod M),

j ±S2,.^,s(-i)«-i^«-+- i^ .i>2„i(M)B„M (modM)

montrent que le cas où M contient des facteurs premiers du rang n est assez compliqué.

Quant à la formule (12), elle peut aussi être déduite directement de celle de Bernoulli, à l'aide des remarques qui terminent le paragraphe IV, méthode que nous avons à appliquer pour déterminer

la somme

CIIAP. XVI. — LES SOAIMES DE PLISSANCES. îiS

dans le cas où M est supposé impair, de sorte que la moitié des nombres a, sont pairs, les autres impairs.

A cet effet, prenons pour point de départ la formule

' " > 2 ^ lis \.,s — ij '

valable pour /« ^ i , nous aurons, par la méthode indiquée, les formules générales

-.^. =E ^^^ (:: : ;) .,„..„»■),,=..-..■..- <.^iz;;ï^,.,.,(M),

ce qui donnera

( — 1 1^+1 ( i^v+iM

'"' „=l::LiiltîIiU'.=i)!M!.i,(M,.

Appliquons maintenant la formule (i5), il est évident que les S„ satisfont à des formules, obtenues de (i), (2), (3), (4) du paragraphe LXXVI, en y posant N ^j 1

Soit M un nombre pair, les o-,, satisfont à des formules, obtenues de (i3), (i4)t ('3)) (ï6) du paragraphe susdit, en j posant