ES COEFFICIENTS DE FACTORIIXLE

LXXIX. — Théorèmes de Lagrange et de "Wilson. Revenons maintenaul à la faclorielle

,£^. introduite dans le |)aiai;raplie VIT, et posons, comme oïdinaircment,

(2) tO/,(^)= C« a:/' -i-C,U /'-!-+-... + C/';-V7 2-+- C/;-':r,

les C^ sont les coefficients de factoriellé du rang p. La définition (2) donnera immédiatement

tandis que Cj, est la somme de tous les produits formés de .s facteurs différents, pris parmi les nombres

(Je sorte que nous aurons

Appliquons ensuile lidcnlilé évidente

(x + p)iù,,(ar) = (xi,,+i(x), il résulte, en vertu de (2), la formule récursive

(">) c;;,, = c;; + /;C;;-» (t^rCp-i).

CHAI'. XVII. — LES COKFFICIKNTS DK KACTORIKI.I.K. 3>>

( >Ia posé, remarquons (|ue la fonction

f{x) — -h>,,(T) — {x -ir\){x-^-i.) .. .(-r -X- p — \)

>alisfail à ia condition

/(-x-/>) = (-,)/'-«/(^), K;s forniules du paragraphe LXIX donnent ininiédiatcincnl /• •^''^

(fi) .[,-^(,)'](-= 2 (-'>^(''7^7')/>'-c;.

Appliquons ensuite Tidentité

(»,,+, (.rj— w^;-^.l('J7 — !) = (/)+ \)ii)i,{T) tirée directement de la définition, il résulte

ù K est une constante, sa\oir

(Cherchons maintenant les dérivées de l'ordre p — r -\-\ des deux enibres de la formule (h)), puis posons a: = o, il résulte la for-

mule récursive

où il faut supposer 2 = /*=/> — i, tandis que l'hypothèse r = p donnera la formule spéciale

qui est due à Schhimilch (') et i-etrouvée par Radicke (-).

La formule (11) est essentielle dans la théorie des coefficients de factorielle.

En effet, soit, dans (6), /• un nombre impair, nous verrons que CJ,'"^' est toujours divisible par p; soient ensuite, dans (10), /un nombre impair, p un nombre premier, on conclut que CJ/ est divisible par p, pourvu que 2s'^p — 3; c'est-à-dire que nous avons démonti'é le théorème :

I. Soit p lin nombre premier impair^ les coefficienls de factorielle Cj; satisfont aux congruences

(13) C;/ = o (mody?;, i<r<ii^,

(i4) C;/+'=o (mo<l/)2), i<r<B^,

('i5) G/, = o (mod/>).

Lagrange (^) a démontré que C'^ est toujours divisible par yo, supposé premier, pourvu que l'^r^p — 2. Quant à la congruence (i4), Wolstenholme (^) a donné le cas particulier qui correspond

(') Archiv de Grunert, t. 9, 1847, P- 33^.

(^) Becursiono/ormeln fur die Beriioulliscken iitid Ealerachen Zalilen, p. lâ, Halle, 1880.

(') Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin^ t. 2, 1771-177,3, p. i2.)-i37. H est très curieux que le collaborateur du Jahrbuch iiber die Forlschritte dcr Malhematik (t. 30, p. 180, 182) attribue à Ferrers le théorème de Lagrange.

(^) Quarlerly Journal of Mathematics. t. G, 1862, p. Sô-Sg.

CUAP. XVII. — LES COKFFICIENTS DK FACTORIELLE.

il la plus grande valeur de r, savoir la congruence

(!()) G';-»=o (moil/)»),

qui est une conséquence inimédiale du théorème de Lagrange. Eu effet, soh p un nombre impair, l'identité

donnera

M,,(p)=pi'-i—C},pi'

pl>-i-G],pl-3.

►it ensuite p un nombre premier, on trouvera immédiatement la ►rmule (i6), en appliquant le théorème de Lagrange. De plus, on ira, dans ce cas,

Remarquons maintenant que (p — i) ! est premier avec p, nous l'ons, en vertu de (i6).

Ut ensuite p celle-ci :

o (rnod/>*;; 2/t + i? cette dernière congruence se transforme

»u, ce qui est la même chose,

Quant à la congruence générale (14)5 elle est souvent attribuée M. Glaisher ('), cependant j'ai publié cette même congruence {^) ïx ans avant M. Glaisher.

(') Quarter/y Journal 0/ Mat he ma tics, t. 31, 1899-1900, p. i-.l'), 3îi-3.')i. (') Nyt Tidsskrifl for Malhematlk , t. '1 15, iSgS, p. i-io. Malgré la remarque liUainc, dans le Jahrbuch ûher die Forftdhiétte der Mathemalik (t. 25., 4ii) : « Die Bewcise sind indessen niclil immer ganz gcnau » de mon compaiole M. Valenliner), je me permets de prétendre que mes démonstrations sont

^c^Ui

i%8 TKOlSIKMli PAUriE. — API'I.ICATIONS SLH LA THÉOIUE DES NOMBUES.

Re\eiioiis maiutenanl à la formule obtenue de (i i) en j remplaçant /• par 2/-f-i, |)uis supposons premier le nombre p, il résullc la congruence

savoir

'1 Cy ^ tz2Z}h (mo.l/>),

de sorte que nous aurons, en vertu de (6), le théorème dû à M. Glaisher('):

11. Soit p un nombre premier impair^ Les coefficients de factorielle satisfaisant aux congrucnces

(19) ic;/s^~^^ '• (mo.1/7),

(20) — c;v + ' = —. (mod/?;

Nous avons encore à étudier la formule (12) ; soit/,» = in -{-\ un nombre premier impair, il résulte

(•u) (p-\)\^{-i)n-yp(p + x)\^„ (inocly>2).

Appliquons ensuite le théorème de von Staudt et de Th. Clausen. il résulte le théorème que Wilson {^) a. indiqué sans démonstration :

lll. Soit p un nombre premier quelconque^ nous aurons la congruence

(■i-i) (jo — i)! -f- I =- o (inod/)).

La premièie démonstration connue de ce théorème est due à La grange (').

Posons maintenant, conformément à (22),

('^3) {p-iy. =-i+/AV,„

(') Voir la note (') de la page 837.

(-) Warinc, Meditationes Algebraicce, p. 128. Londres, 1770.

(') Nouveaux Mémoires de l'Acadéniie[de Berlin, I. 2, (i77i);'773i p. '2')-i37i.

CHAI». XVir. — LES COKFKICIENTS DE FACTORIKLI.K. SjtQ

le nombre Wy, est un nombre entier, que nous désionons comme le quotient de Wilson. Introduisons maintenant, dans la conj;iuencc (21), l'expression de {p — 1)! tirée de (23), il résulte la congruenee

(•>. j) Wy, = ('— I)"-' B„— I H (moiJ/î), p — xn+i^

due à M. Glaislier (' ) et indiquée plus tard, sans démonstration, par M. Lerch (-).

Quant au théorème de Wilson, nous aurons évidemment

iiuiis Liouxille ( ') a démontré l'impossibilité d'une équation de la

forme

où p est un nombre premier plus grand que 5. I^e plus, la congruenee (24) de M. Glaislier donnera immédialemenl le lliéorème :

IV. La condilion suffisante et nécessaire pour l'existence de la congruenee

(■i'i) (/) — i)! -f-i = o (moil/j2),

où p est un nombre premier^ est représentée par cette autre congruenee

(26) (— i)"B„ f- I = o (m()d/>), p = in->ri.

On voit que la congruenee (25) est applicable pour p = o; de plus, nous aurons

B,+ L,^i^-^^,^MZ^o (mocli3),

;e qui donnera

12Î — 1 ^ o (mod i3*);

>n trouvera, en ellet,

(') Quarterly Journal of Matheni'itics, l. 31, 1899-1900, p. 327.

(') Mntlieniatische Annolen, t. GO, igoi, p. 488.

(') Journal de Af'Uhérnid'f/ites pures et appliquées, a* série, t. 1, i^i<i. p. .i')i.

'5)0 TROISIKMK l'AUllK. — AP1>I>IC \TIONS SL'U I,\ THKOHIE DES NOMIinK*.

Appliquons maintenant le théorème de Wilson; il résulte, en vertu de (i8),

de sorte que la congruence (20) donnera, pour r ^= n — 1 ,