V. — L'opération A

S.. il

( i ) /( r ) — Oq .r" -+- ai .r" -•+...+ rt„i x -4- «„

lin [)()ljnoine du degré n par rapport à r, la difierence du premier ordre dej'{x) est définie par l'expression

de sorte que nous aurons immédiatement, en désignant par a et b des constantes quelconques, tandis quecp(j?) est un autre polynôme entier,

( i ) l\rf/(.r) -^ b oiar)\ = a \/(.r) -^ b \ <f ( J");

(•"est-à-dire que l'opération A est distributive.

De la différence du premier ordre, on forme la différence du second ordre, à l'aide de l'expression

,-,) l\f(x) = lf(.r)-l/(x-i),

et ainsi de suite; de la différence de l'ordre p — i on forme celle du p'*™* ordre par l'expression

Cv\n posé, il est très facile de démontrer la formule générale

(|ui n'est, pour/? = i, autre chose que la définition (2). Supposons

l4 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

maintenant vraie la formule (i), puis posons a? — i au lieu de x^ nous aurons, en soustrayant les deux formules ainsi obtenues, et en appliquant la relation bien connue

une expression analogue pour A''+'/(j?).

Appliquons ensuite la formule

la formule (~) se présente sous cette autre forme

Posons pour abréger

(il) \^f(x)=/(.T),

nous aurons comme inversion de (7)

Sr=p

En effet, soit/? = i, la formule (12) est une conséquence immédiate de la définition (2); appliquons ensuite l'identité

^P~sf{r — s) = \i>--' ^i/(.r — s) 4- A''- V

tirée directement de la définition (6), la conclusion de n à n -\- 1 est évidente, en vertu de la formule numérique (8).

Quant à l'étude plus ample de la différence d'un ordre quelconque, du poljnome/(^), défini parla formule (i), nous développons, conformément à la formule de Taylor, la fonctiony (j? — 1). Soit

CHAP. H. — DU CALCUL AUX DIFFERENCES FINIES. l5

il résulte par conséquent,

.< --/) — 1 ^'^^ V^ = «.- ,,py = 2 ^-'>( n-p j"'—

d'où particulièrement

(i5) bo= na,,,

ce qui donnera

(i6j A"/iar) = /i!a„ = /(«)(:r),

de sorte (|ue nous aurons

Cela posé, je dis que les formules (•y) et ( 12) se présentent sous cette autre forme plus générale

( iS . A/'/. •'• ' =2 (- ' »^ (^ ) /' -^ - •' h

La généralisation susdite de la formule (7) est évidente, parce que les coefficients binomiaux qui figurent au second membre s'évanouiront pour .ç >/).

Quant à la formule (19), soit tout d'abord p = n, la formule en question peut être obtenue directement de (12) en y posant a? -h/? au lieu de x", soit ensuite p<Cn, les coefficients binomiaux qui figurent au second membre s'évanouiront pour s ^/>. Soit, en dernier lieu, p \> /i, les différences de f{x-\-s) s'évanouiront pour A- >■ //.

On déduira de la même manière ces deux formules plus générales encore :

où il faut supposer nidln.

Ib PREMIERE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

Dans le paragraphe \ III nous aurons à généraliser beaucoup la formule (22).

Posons pour abréger

(23) A,';,{r) = M'(x-^p)% nous aurons, en vertu de (^),

(24) ^y(^)=^(-'>^(^) (■'-+/>-*)", ou, ce qui est la même chose,

(25) ,\,'>(.T) = ^(-iy(P](x+p-s)" {m\^p).

Gela posé, nous aurons, quelle que soit la variable x.,

(26) X';,{x)^ii\

(27) cl,;U-r) = o (/>>«).

Soit X =■ o, nous posons pour abréger

(28) x;;=x;ho)= ^ (- g.(^/J^ (;, ^y,

s — o ce qui donnera

(29) A,';,{-p)^{-i)"^pA.'i,.

Les nombres .A," sont introduits dans l'Analyse par Euler (') et étudiés plus tard par plusieurs géomètres; nous nous bornerons à citer Laplace (-) et Grunert (').

L'introduction des rX"^ nous permet de donner sous forme simple l'expression explicite de la différence quelconque d'un polynôme entier. En effet, développons, conformément à la formule de Taylor,

(') Instilutiones calculi differentialis, p. 485-486. Petrograd, 1755. (^) Mémoires de V Académie des Sciences^ 1777 (1780), p. 99-122. (^) Mathematisclie Abhandlungen, p. 67-92. AUona, 1822.

CHAP. 11. — DU CALClîL AIX DIFFERENCES FINIES. 17

le terme somnialoire qui figure au second membre de (7), il résulte

introduisons ensuite, dans (j), les expressions ainsi obtenues, puis oidonnons d'après les /^''^{x), nous aurons

Introduisons maintenant, dans (3o), les développements

s= n—iii

puis ordonnons, d'après les puissances de x^ le résultat ainsi obtenu, il résulte finalement

u nous a\ons

posé pour abréger

Supj)Osons connus, dès à présent, les coefficients a^, , de la dilTéence \''J'{x)^ la formule (82) peut être regardée comme une foinule récursive pour le calcul successif des X'''^'i.