LXXX. — D'autres démonstrations

Supposons eonnue la théorie des congruences d'ordre supérieur, dont le module est un nombre premier, il est très facile de déduire d'un seul coup, et le théorème de Wilson et les congruences de La orange.

A cet effet, prenons pour point de départ l'identité é\idente

(i) -M,>{x) — {xi>-^ — \) = c;,.r/'-2+c;,r/^-3+...^c/;-2a7 + [i-+(/j— ij'j.

où /j désigne un nombre premier, puis appliquons le théorème de Fermât, il est évident que la congruence

(•>.) C;,a:-/'-2+G;,a^/'-3-4-...+ q;-2:r-^ ['-^-(/> — 0'-] =0 fm(.(i/;j,

du degré p — 2 par rapport à .x, admet les p — 1 l'acines incougruentes

parce que le premier membre de (1) est, pour les valeurs (3) de x^ divisible par/>; c'est-à-dire que la congruence (2) est identique, (]<' soi'te que nous aurons et les congruences de Lagrange

(4) C^; = o (inod/j), i^\''^p~i et le théorème de Wilson

(5) , + (^,)!^^o (mo.l/.).

Oii voit que cette démonstratioM ne donne |)as les ciïnijriiciK (le M. (rlaislior, ce qui a lieu pour la nuMliodc suivante.

CHAI». XVII. — LKS COEFFICIENTS DE FACTORIELLE.

ll(Mnar({iions que le polynôme entier du degré /> — i

lr,>/,{x) = XI'- 1 -+- g;, .r/'-ï -H G * a:P-3 — . . . -+- C;; -2 a^ + G{; ■ « a les zéros

— I, —■>., —3 la formule de Newton donnera (6)

ip-^);

4 (,)'-• g;;-' s,(/> -!)-+-(- iYrC>„ = o,

où il faut supposer, par conséquent, i SrSp — i.

Soit, tout d'abord, dans (26), /• un nombre pair, on aura

rce qui donnera

^iriP — ') + '^''Gf/' = O (mo(\p-),

\(S) G,V=o (muiip), li

Fde plus, ou ti'ouvera, dans ce cas,

— (:^/= -S2,.(/> — 1) (mod/7),

d'où, en vertu de la congruence (7) du paragraphe LXXVI,

icr=<-=^ <„.od,,

Soit ensuite ;•=/> — i, la congruence (7) donnera, en vertu de (8) du paragraphe LXXVI, le théorème de Wilson

(10) (p — i)!-f-iEso (mo(l/>),

et, déplus, nous aurons, en posant /; = 2 /i + i , puis introduisant le quotient de Wilson, défini par l'équation

(P-iy.=-i-^p\y,,

i cette autre congruence ce (jnl (louuera immédiatement la congruence de M. Glaisher f

\\\,r=. (— l)"-iB„— i-f- - (iiunlp).

)3i TUOISIlhiE l'AHTlE. — AI'PI.ICATIOXS SUR I,A THKORIE DES NOMBRES.

Éludions maintenant le cas où r est supposé impair, nous aurons, en verlu de (6),

( So,+,(/^-i)-c;,s,,(/> — i)-+-c;/s,(/.-i)^(2r + i)C;/+'

ce qui donnera immédiatement

(i3) C2'M^<E=o (modp^), ,<r<ZiZl^;

de plus, la formule (12) donnera, en vcrlii de (9) et des résultais obtenus dans le para.graplie LXXVl,

(.4) J cy.,^'-'V-(^;+,)B„ ^,„„„^^