LXXXI. — Théorèmes de Lagrange et de Gauss. Soit

un nombre quelconque décomposé en facteurs premiers, il est évident que la fonction

où

(3) ai, ao. 1x3, ..., a,jj., •i,u = cp(/?0

sont les positifs entiers plus petits que ?n et ])remiers avec /», est analogue à la factorielle que nous venons d'étudier. Dans le cas où m est supposé premier, on aura même

Posons maintenant

(5) /(.r) = ar2[A-Hai.r2H-' + .. .-i- aajji-i^-H a^^,

puis remarquons que f(x) satisfait à l'équation fonctionnelle

n- a: - m) =. fix),

CUW. Wll. — LES COEFrIClENTS DE FACTORIKLI.E.

il csl évident que les eocfficients a,- satisfont aux relations obtenues

lies formules (4), (5), (6), (7) du paragraphe LXIX, en y posant /, f^Z> .

Il = ajji, p = m.

Introduisons ensuite les sommes de puissances

(0) S,,= a', -(- a', -H. . .-f-ai'.jL

étudiées dans le paragraphe 4^\X\H', nous aurons, en vertu des k. 24)/^

formules de Newton,

7 ^ - aiS,.,-f- fiiSi—z-i- . . . — ( — i)'"-'a,.^i Si -4- ( — lyra,. = o,

où il faut supposer i <;'^ 2u.

Soit maintenant m un nom])re impair, et soit 2q-\-\ le plus

petit de ses facteurs premiers, le théorème I du paragra})he LXXVIll L^

donnera, en vertu de (7), cet autre théorème :