Les cocjjicients a,- satisfont aux congruences

OÙ il faut suppose/

(ni(

■ir '-'

.ifm)

i.dm),

)oser

i'Sr<q

( inotl m).

Or cette analogie avec les coefficients de factoriellc semble un peu difficile à étendre aux valeurs de /• plus grandes que ^ — i , sauf pour le dernier des coefficients susdits, savoir

(jui a une propriété analogue à celle de C^,'~', exprimée, par le théorème de VVilson.

A cet efiet, nous avons à étudier les 2|jl congruences du premier

(11) z, .r = I (mod»î) (7- = l,'i, 3, ...,>.{ji);

il est évident que la congruence (11) a une racine x qui satisfait

aux conditions

iS,x ^m — I ,

et cette racine est première avec m. De plus, la congruence ne peut avoir aucune racine commune à celle-ci :

a,..r = i (modm) [r ^ s).

Cela posé, on peut choisir deux groupes de nombres

«M «2. '^'■Al •••- ^'<l^

parmi l'ensemble (3) des positifs entiers plus petits que ni et premiei's avec m, de sorte que nous aurons

ce qui donnera

(12) a', a'o . . . 'x',1 . a", a'^ . . . a* ^ r ( mod/> ).

Il nous reste encore à étudier les congruences

(i'\) cl}. = \ (m()d/?î),

ce qui donnera, de même,

(i4) {m — a,.)2E^i (iiiodm),

et de plus, nous aurons, en vertu de (i3),

(i)) cr.,.{in — 2/) ss — I (modm).

Multiplions ensuite la congruence (12) par toutes les congruences de la forme (i5), nous aurons le théorème de Gauss ( ' ) :

H. Soil ni an positif entier quelconque^ nous aurons

(16) a2u. = ( — if> (modwi),

où 0 désigne le nombre des congruences de la forme (j5).

Gauss a aussi déterminé la valeur du nombre 0, ce qui nous conduirait trop loin ici.

(') DIs-/iif.sifio/n'S (iridi nii'li'tr. ;ni. ','.'>. 7S ; I ntiTsiichuiigcii ïtber hohcre Aritlunelil,. |). .')4-.').'. (lînliii, i~>-^;)): Chinris, I. 1, p. G1-&2.

CHAI'. WII. — LES COEFFICIKNTS DE FACTORIKLLE. 335

Soil maintenant m égal au nombre premier/;, la congnience (i3),

savoir

{a,.-M)(a,.— i) = o (inod/)),

n'a que les deux racines

(le sorte que le nombre o aura la valeur i , et nous aurons, par conséquent, le théorème de Wilson, théorème qui se présente, en vertu de (12), sous cette autre forme aussi,

171 (/> — 2)! = i (mod/)).

Ap[)liquons maintenant le théorème II du paragraphe LXX, il résulte la proposition, due à Lagrange ( ' ) :

Soit p = 2 /i -\- i un nombre premier^ nous aurons

(mod/)).

Supposons ensuite que n soit delà forme a^y + i, ce qui donnera/j = 4<7+ 3, nous aurons évidemment une congruence de la forme

posons ensuite

!=(,)ï (mod/));

le théorème 11 du paragraphe LXX. donnera

iiù W f, désigne le quotient de Wilson, tandis que nous avons posé, pour al)réger.