IK

puis désignons par

[as) /M, «2, «3, •••, 2,„

îles zéros (\cf,nix), les sommes de [)uissances

[3) S„ = x'I + a^' + . . . + a;j, ( So = /" )

satisfont à des relations tirées des formules (i), (2), (3), (4) du [paragraphe TAXA I en j posant

/j= — I, S,.(/> — I) = S,., tandis que les formules de Newton deviennent

ni I m \

S2-+ — bi-i-.>| in, = o,

So„ + i+^Sj„-4-2'

( — I )" in

B„=o, inl

»ù il faut supposer iii^m, respectivement avr-h i ^/?^. Gela posé, déterminons une suite de polynômes entiers

) ?o^î^), <pi(-ri, r2(.^;, •••> 'f«(-i-', •••,

■i^O TROISIlLUE PAIITIK. — APl'MCATIONS SIR I.\ TilKOUIE DES NOMKRES.

de sorte que

\ Oi(.r) -Jn—Oi(.r)-hl ( )Bi=^o,

puis désignons par m un positif entier quelconque, nous aurons ("v idem ment

(^'cst-à-dire que les polynômes o„(x) ainsi définis satisfont aux conditions

En efl'et, soit m un positif entier, de sorle (pie m^a/i + î, les relations susdites ne sont autre chose que les formules bien connues pour les sommes de puissances S,», de sorte que les quatre équations algébriques en question sont des identités parce qu'elles onl une infinité de racines.

niAI'. XVII. — LtS COEFFICIENTS DE FACTORIEI.I.K. 3 '| l

Quant aux ]>olvnonies cp^t^x), les six premiers deviennent

■j,^,^x} = x. ç,(a")=— -, Oi{x)= — '^-, çpji arj =-- — y ,

7'* /''^ 3 r^ /* /r* JT^ /^'^

• qui nous conduira au résultat général : I. Soit n^\ , nous aurons

oà /e5 coefficients a-m,,- et «an+i,/- «o/if </^5 nombres rcitionnels, dont les dénominateurs ne sont divisibles par aucun nombre premier plus ^rand cjue a/i-f-i. Les premiers et les derniers de ces coefficients deviennent

ii5) ".>«,2«-i = <— i)""'B«»

En eftet, supposons vraies les expressions susdites jusqu'à l'indice 2/1 — I, nous avons, en vertu de (6), à déterminer «o/i.o P'»i" 1«* formule

\;i (— i)'-' B,.«2„5,. o (—11" B„ d'où, en introduisant les valeurs des rt2«-2/,05

ce qui donnera, en vertu delà formule eulérienne (i3) du paragraphe XII, précisément l'expression ( i3) de «2//,o-

Appliquons ensuite, par exemple, la formule (i i ), il est évident

S^i TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THKOUIE DES NOMBRES.

que le polynôme <pj„^j (.r) deviendra du degré 271 et que nous aurons

ce qui donnera l'expression (i/j) de a-2n+i,\-

Quant aux valeurs des deux derniers coefficients «2«,2//-( eï <^'-2n+{,2n-\i il est évident que

(-""--(.!.)«'•■ (-.)"- (,,^,)B,?,(.-)H-fT.»(-)

sont les seuls termes des premiers membres des formules récursives générales (6), qui ne soient divisibles que par x respectivement par X-, ce qui donnera immédiatement les expressions (i5) et (16).

Remarquons, en passant, que la formule (11) donnera cet autre résultat :

Quant à la nature des coefficients aonj- et «on+i,^ indiquée dans le théorème I, savoir qu'ils sont des nombres rationnels, dont les dénominateurs ne sont divisibles par aucun nombre premier plusgrand que 2 7i + i, cette propriété est, en vertu du*théorème de von Staudt et de T-h. Clausen, une conséquence directe des formules récursives générales (6).