VI. — L'opération

Dans nos recherches suivantes," les opérations

jouent un rôle analogue à celui des opérations A/*, étudiées dans le paragraphe précédent.

On voit que l'opération 8 .est distributive; de plus, on trouvera

MKt.S MEt.SKN 2

l8 l'UEMlÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE 'POLYNOMES KNTIERS.

ici les deux relations, inverses l'une de l'autre ••

,« = 0 S=ll

et il saute aux yeux que la première de ces deux formules se présente aussi sous cette autre forme

(5) oi>

La formule (3) se présente, en vertu des remarques faites relativement aux formules (';7) et (12) du paragraphe V, sous la forme plus générale

(6) ^"/(■'^)=^{^^)f(-r-s), {mlp),

tandis que la formule (4) n'est pas susceptible à une telle généralisation, parce que les expressions ùP J\x) sont toujours, quel que soit l'indice j3, des polynômes du degré n par rapport à x. Posons

(7) ^J\x) = bQX>'-{-bxX"-'^ + ...-^bn-\OC-\-b„, nous aurons, en vertu de la formule de Taylor,

bg=aq-{- ^ ^——!- ,

ce qui donnera

( bo — lao,

1^1 L'analogje de la fonction l", (a?), étudiée dans le paragraphe pré-

(' cèdent, deviendra ici

(9) A',\(x)^ùi'(x--^ /))",

GHAP. II. — l»i: CALCUL AIX DIKt'ERRNCES FINIES. KJ

>avoir

ou, plus généralement,

Soit X = o, nous posons pour abréger

ce qui donnera

<l particulièrement pour /i = o

L'introduction des nombres A^ nous permet de donner, sous une lorme simple, l'expression explicite de ùPf{x)] la méthode appliquée dans le paragraphe précédent donnera, en effet.

Posons ensuite

(i6) li'J{x)=^'^p,s^"-',

il résulte finalement, en vertu de (13),

„) ?,,,JV(-.k(";:^')«,-,a;;.

Supposons donnés dès à présent les coefficients fjp,s de Bp/{x), la formule (17) peut être regardée comme une formule récursive j>()nr le calcul successif des A';.