CII.VP. XVII. — LES COKKI-ICIKNTS DE FACTORIELLK

^'ibréger,

(') //>(ar) = .r/'-+- ^ œi'-^ -{- CiXi>- *-^ C.xi'-''-^. . .-^ C^-iX,

< 3 ) to,, {^- ) = .XI' -h c}, -t- x/'- 1 -h cf, ^/'- -'+... -4- c;; ^x,

nous aurons, par conséquent,

Cela posé, les résultais obtenus clans le parajj;raplie LXXIX donnent Ininiédiatenient la proposition suivante :

I. Soit pz=2ni + \ lin nombre ptemier plus grand que 3, nous aurons

<5) C,,= C/V^o (mod/>),

{6) ICr^Lcy^'^-^ (mody,),

où il faut supposer \ Sr "^/n — \ .

Quant au cas spécial exclu /=: /;;, le célèbre tliéorème de von Staudt et de ïli. Clausen donnera

(7) (-i)"'l5m= ^-\lîv»,

où \i!. est un nombre rationnel, dont le dénominateur n'est divisible par aucun nombre premier plus ^rand que p — 2, ce qui donnera

(S) C,,,,^(:s/«ss— I (modyr,);

de plus, nous aurons, en vertu de (4) et (^),

([}) <'-2/«= -I— />llî'«M

(audis que le théorème de Wilson donnera

C;V"=(/>-i)!=-i+y;.),„ n'/, = — I— !(!)„, (mod/M;

•c esl-à-dire que nous aurons

Cf/" -^ I

— ll!)„; (inod/> ),

I — llîr„, I m.)(l//

)i î rnOISlKME partie, — applications sir la TIIKORIIÎ des NOiMBRES.

(le sorte (jue la con<;riience (G) n'a aucune analogie dans ce cas.

Quant aux sommes de puissances So/- et S-2,(p — i ), nous aurons

(la) S2;.E=Sj,.(/> — i)^(-i)'-iB,/j (mod/,2),

ce qui donnera cette autre proposition :

II. Soit p = 2. m -\- 1 un nombre premier plus grand que 3, et soit I '^r'^m — i, 7ioi(s aurons

(i3) Sarss S2,.(/> — g — o (m()d/>),

04) is,,^-S,,(/>-r)H.= (-i)'-i|V (m(.d/>).

Quant au cas spécial exclu, il résulte, en vertu de (-) et (l 'i),

S2„j= S2/«(/> — i)=s — I — /jit!),„ (niocl/;2),

ce qui donnera immédiatement

(là) S2/„= S2,„(/> — i) E=— 1 (mod/>),

//.x 82/,,+ I S2,„(/? — I) + I /IN

(16 ) — SB '——J. = - -ilî,,„ ( moi\p).

Etudions maintenant les deux sommes So,,., et So,^^, (/j — i ), il lésulte, pour !</•£/« — 1 ,

(17) 82,.+! = S2,+i(/) — i) = 0 (mod/>2),

mais il n'existe pas des congruences analogues à ((3) et à(i4). Or, il est bien remarquable, ce me semble, que les coefficients de faclorielles C;/"^* représentent des analogies parfaites avec les sommes de puissances S2,.,.,.

En effet, on aura tout d'abord

ce qui donnera

/ S| = C/, = 0 (modp),

tandis que nous animons ici la proposition générale

CHAP. XVII. — LES COEFFICIKNIS DK FACTOBIELLE. 345

m. Soit /; = am + I un nombre premier plus grand que Z, cl soit i^rS m — i , nous aurons

cr^'so

(m.xl