LXXXV. — Formules et théorèmes généraux

Revenons maintenant au théorème de von Staudt et de Th» Clausen

>- Al A 2 AV„

où A,j est un nombre entier, tandis que les \, sont l'ensemble des nombres premiers du rang n, on a indiqué plusieurs relations dites caractéristiques pour les A„.

Or, de telles formules sont illusoires à ce point de vue, parce qu'elles ne sont autre chose que des propriétés communes aux coefficients d'un groupe très étendu de formules récursives pour les nombres de Bernoulli, ce qui est évident si nous étudions, d'un point de vue général, le problème susdit sans nous borner à certains cas spéciaux.

A cet effet, prenons pour point de départ la formule récursive

(^0 ^{—iy^^>n,2syis=?m ('n>i):

désignons ensuite par

(3) PxPîPz-- .p^.

l'ensemble des nombres premiers impairs égaux à m au plus, puis introduisons, dans (2), au lieu des B^, les expressions correspon-

CIIAP. WIII. — LES FOHMUMÎS nÉClRShVKS DKS B„. 347

dantes tirées de (i), il résulte une identité de la forme

OÙ nous avons posé, pour abréger,

Cela posé, soit 20 -|- i ^ m un positif entier impair et soit ensuite

Wp= ^ «/«,î.<p, s = l

il est évident que l'hypothèse 2p +1 = p^ entraîne l'égalité •eo qui nous conduira à étudier les équations

linéaires par rapport aux nombres 0^; appliquons ensuite la formule (4), il résulte le théorème :