Posons, dans (-), successivement

m = 3, 5, 7, . . ., 20 -I- I, les z nombres

û|î ^2, 83, ..., Op

sont parfaitement déterminés et nous aurons toujours Sp=i ou Sp= o, selon que 2 .5 -f- 1 est un nombre premier ou non.

Revenons maintenant à la formule (4), puis supposons que 2 3,,,

348 TROISIKME PARTIT. — APPLICATIONS SUR LA JIIÊOIUE IJICS NOilBRKS.

et tous les coefficients a,„ o;-, soient des nombres entiers, il est évident ([ue la somme qui figui-e nu premier membre est un nombre entier. Remarquons ensuite que les dénominateurs, figurant au second membre de la formule susdite, sont sans diviseur commun; il faut qu'elle soit divisible par/?,., de sorte que nous aurons cet autre théorème :

11. Supposons entiers 2 [i,,, et tous les coefficients a„, of 7''^ figurent dans la formule recursive (2), puis désignons par p un nombre premier impair égal à m au plus, nous aurons

( 8 ) ■ 2 '^•"' • /'.--.-• —^ (mo<\p ).

Soit particulièrement m un nombre premier, il résulte, en vertu de (8), pouryj = m,

Le théorème inverse de II est é\ident, savoir:

ITI. Soient les coefficients o.,„.^s des nombres entiers qui satisfont aux congruenccs (8) ou p désigne un nombre premier impair, égal à m au plus, V expression

(•o) ^2 (-'>'='-",2,vnv

.Ï--1 est toujours un nombre entier.

De plus, il est très facile de généraliser beaucoup les deux derniers théorèmes que nous venons de démontrer.

A cet elTel, désignons par r,„ 2^ des nombres qui satisfont auv congrucnces

où p est un nombre premier impair du rang /• — s et égal à m au plus^ nous aurons évidemment

7 a„,, /,.,.,•'/„.,, ,s- .v = 7//,./,- I 7^ '-im.ps^s (mo(l/j);

('.MAP. XVIII. — LKS FOHMUI.KS hkclusivks dks B„. '549

c'cst-à-dirc que l'expression (lo) peut ètn; remplacée par cell(;

aiilr.

(M.) -a V (-i>-a,,,,,Y,„,î.vn,.

Eu (lions encore la loncllon

où K est une constante, tandis que lesB,(j7) désignent les fondions de Bernoulli, de sorte que/(^) est un polynôme entier du degré m — i ; nous aurons le ihéoréme analogue à II :

IV. Supposons (juc tons les coefficients a,„ ^s cp'i figurent dans la formule (12 i soient des nombres entiers, puis supposons (jue l'expression

ait la même projtricté^ nous aurons tes congruences

OÙ p désigne un nombre premier impair, égal à m au plus. En ellet, soit, dans (i2j, J7 = o, il résulte la formule récurslve

K — - a„, ^ , — /( o ) = ^ (—1 )•"■ a ,„,«., lî

on voit du reste que les coefficients rt,„2s+n O" 5^1, ne jouent aucun n'de pour les congruences (i4)'

35o TKOISIÈME PARTIE. — APl'LtCATIONS SUH LA THÉOIUE DES XO-MBRE?.