CHAP. XVIII. — LES FORMULES RÉCURSIVES DES B

nous aurons, en vertu de (i), les deux relations

dont la premiéi'e est due à Hermile.

Or, il faut remarquer que G.-F. Mejer ('), déjà en 1862, a essayé de développer la formule (4) d'Hei-mite, mais qu'il n'a pas réussi à donner sous forme simple l'expression ilo^+i.

En soustrayant les deux formules (4) et (5), puis posant

il résulte la formule de Stern {^)

De plus, Stern, dans son grand Mémoire intitulé : Beitrcige znr Théorie der Eulerschen und Bernoullisclien Zahlen ( '), consacre les six dernières pages à une application analogue de ses trois formules récursives :

(') Aichi\; de Grunert, t. 38, 1862, p. 241-246. (^) Journal de Crelle, t. 81, 1878, p. 267-269. (') Goltinger Abkandlungen, t. 23, 1878 (44 pages).

352 IHOlSIÉMl!: l'ARTIK. — APPLICATIONS SUR lA THÉORIK DHS NOMBRES.

savoir les formules (i6), (17), (18) du paragraphe XLIV; il est évident que ces formules satisfont aux conditions indiquées dans le théorème II du paragraphe précédent.

Soit ensuite jy un nombre premier impair, égal à 2/1 -\-i au plu>. il résulte par conséquent les trois congruences

où 0^=1, 0^=0, selon que /> est du rang ?i ou non. Stern démontre directement chacune des trois congruences en question.

Tels sont ses résultats obtenus jusqu'ici en appliquant, sur les formules récursives, le théorème de von Staudt et de Th. Clausen; on a cru évidemment que les congruences ainsi obtenues représentent les propriétés caractéristiques des coefficients binomiaux.

En effet, Hermite mentionne la fonction numérique Q,„, définie par la formule (3), dans le cas où m est un nombre impair, savoir //î =z= 2/î-f-i, mais il existe une fonction analogue du nombre pair //i = 2/i H- 2, et ces fonctions ne sont autre chose que des cas particuliers de la fonction générale

qui iigure au second membre de la formule (4) du paragraphe précédent, pourvu que les conditions indiquées dans le théorème II soient remplies.

Lipschitz donne le cas particulier de notre théorème général I du paragraphe précédent, qui correspond à la formule (4) dTIeruiite.

De plus, on dit que cette même formule dTIermite soit une formule récursive pour les nombres entiers A,/, quoique notre formule générale (4) du paragraphe précédent ait précisément la mêmepro-

CHVP. XVllI. — LES FORMUMiS BÉCURSIVKS DES B„. 35^ '

|)iiélé, et en considérant les formules récursives que nous venons (le développer pour les B„, nous verrons que la plupart de ces formules satisfont aux conditions susdites.

Cela posé, il est évident que l'application du théorème de von Staudt et de Th. Clausen sur de telles formules récursives ne donne pas des propriétés caractéristiques des nombres entiers A„, mais des propriétés communes des coefficients qui figurent dans les formules récursives susdites.