O II 1

où il faut supposer, dans (i), 2 </•<// — i; il est évident que les premiers membres de ces deux formules ne satisfont pas aux conditions indiquées dans le théorème II du paragraphe LXXXV.

Eludions tout d'abord la formule (i); soit p = 2q -j- i = i' -\-i un nouibre premier impair qui ne divise pas « -f- 1 , nous aurons la cons-ruence

^\ If/S / "

Soit maintenant n -f- i un nombre composé et soit

I l'ensemble des nombres premiers qui divisent /* + 1 et qui sont égaux à /• -h 1 au plus, nous verrons, en vertu du théorème de von MtLS mi;i.si;n 23

354 TROISIÈME PARTIK. — APPI.IC VTIONS SUB LA THÉORI:': DES NOMBRES.

Staudt et de Th. Clausen, que le produit

(4) P\PîPi---P\i. ^^^^ — C;;+,, i<r<ti~\

est toujours un nombre entier.

Soit enfin n 4-1 =/> un nombre premier, nous aui'ons par conséquent la congruence de Lagrange

(5) C';.^o (mod/»), i^/-|y> — 2.

Quant à la formule (2), la congruence qui correspond à (3) deviendra

(6) ^C',[-'""'^o (mocI/>), * = 1

où le nombre premier /> = 2^ + i^ /i -h i ne divise pas ii-\-\ ] on voit que l'expression correspondante (4) ne dit rien dans ce cas, tandis que l'hypothèse n-\-\ égal au nombre premier jo donnera, en vertu du théorème de von Staudt et de Th. Clausen, celui de Wilson, car le dernier terme qui figure au second membre est le seul dont le dénominateur soit divisible pary>.