CHAPITRE XIX

LKS QUOTIEiNTS DE FERMAT.

LXXXVIII. — Formules fondamentales.

Soit p=.im-\-\ un nombre premier impair quelconque, el soit a un positif entier non divisible par yp, le théorème de Fermât s'écrira sous la forme suivante :

(i) ai>-^ — i = \-\-pk{a),

où k(a), le quotient de Fermât, est, pour a > i, un positif entier, tandis que nous aurons

(•ij A-(i) = o.

Il est bien connu que les quotients de Fermât possèdent des propriétés analogues à celles des indices ou même des logarithmes.

En effet, remplaçons, dans (i), le positif entier b non divisible par />, puis multiplions les deux équations ainsi obtenues, nous aurons immédiatement

(3) k{ab)^k(a)-^ k{b) (modjw).

Soient ensuite, dans la congruence,

ax^^b (mod/*),

a et b premiers avec /?, nous écrivons aussi ar = — (mod/>), ce qui donnera, en vertu de (3),

(4) kl^^k{b)-k{a) (moàp).

■'(') THOisnhiiî l'Aurii:. ~ applications si;ii i.A tiikoiui; dt.s xoMim: DiNoiis, pour abrrjicr, que la fraclion

('Si première avec/;, [)ourvii queniani b ne soient divisibles par />, nous aurons le lliéorème suivant :

]. Soient «1, ao,- a-^, . • •, ('r des nombres ralionitels p/-eniiers açcc /?, te/s que

(5) (iiaycii . . . a,.-^± i (mof]/)),

puis posons

(0) aïOiCii.. .a,. = -±(i—j)\),

nous aurons toujours

(7) A s^ /.-(«,) {modp).

En eflfet, la formule (6) donnera

(«irtîfl-a . . .ri,.)i>--i = I — (/> — !)/> A -h p'^k, tandis que nous aurons, eu verlu de (i),

ce qui nous conduira immédiatement à la congruence (^ ). Choisissons, par exem|)le, de l'ensemble

I, 1, 3, ..., /> — i 2/- nombres différents

(le sorte que nous aurons, pour i<5</-,

(9) a,+ b,=p; l'identité évidente

(10) a^a^as.. a,.— (p — bi)(p — b^) . . . ( p — b,.)

citAP. XIX. — i,r:s yLOTiirxrs de fkhmat.

donnera

(II

Posons ensuite

ai<7jr/:, . . . a,.

ciia^a^ . . .a

3(— I)'- (mod/>).

bib.bj... b nous aurons, en vertu de (jo),

(i3) '"^^ 7;'^'^ Ti'^--'^ r. ("'•^''/'),

^ tandis que le théorrnic 1 donnera de même

A^^A-(ai)-^A(b,).

(Jes remarques faites, nous avons à mentionner quelques relations intéressantes entre les quotients de Fermai et d'autresnombres essentiels.