LXXXIX. — Les quotients d'Euler et de Sylvester

Remarquons que le théorème de Fermât se présente sous la forme suivante :

(rt"'4-i)(«"' — i)==o (mioc1/>), p = -im-h\;

il est évident que le positif entier «, non divisible par/?, satisfait à une des deux autres eongruences

( I ) a '^ F^±i (mod/').

Posons maintenant, d'après Legendre.

t ■>. ) a - ==(—) mod p),

nous aurons, [)ar conséquent,

358 TROISIIÎME PAKTIK. — APPLICATIONS SUR LA TlIKOltlK DES NOMBIICS.

Posons ensuite, conformément à la congniencc (2),

(3) • a -^ - (^^Y^^pk^ia)]-

il est évident que Xi (a), le quotient d'Euler, est un nombre entier, et nous aurons, en vertu de (1),

ce qui donnera la congruence bien connue (')

(4) /c(a) = ■i/ci{a) (niod/;).

Soit en second lieu a un positif entier quelconque, le théorème de Sjlvester, savoir la formule (10) du paragraphe LXI, montre que l'expression

(5) =/Ma)

est un nombre entier; nous désignons ce nombre ^a(«) comme le quotient de Sjlvester.

Soit maintenant

Xi, Ai, A3, . . . , Àv

l'ensemble des nombres premiers du rang m ; l'expression

2X1X2... Xv

est, en vertu du théorème de Fermât, un nombre entier.

Soit ensuite 2m-\-i z=p un nombre premier, tandis que a ne soit pas divisible par/>, nous aurons, en vertu du théorème de von Staudt et de Th. Clausen,

(— i)'"a2"'(2î'«— i)B,„= «-'"(«^"' — 0 (mocly>),

ce qui donnera immédiatement, en vertu de (5),

(6) A-(a)s( — i)'»-i /i:2(a) (mod/>), p = 7.m -+- 1,

(') Voirie beau Mémoire de M. Lerch {Mathematlsche Annalen, t. 60, 1905, P- 479)-

CHAP. XIX. — LES QUOTIENTS DE FERMAT. Sôg

c'est-à-dire que nous avons démontré le théorème :

I. Désignons par p = 2m-\-i un nombre premier impair quelconque, par a un positif entier qui n^ est pas divisible par p, les quotients de Fermât A{a), d'Euler kt{a) et de Sylvester A 2 (a) sont liés par les con g menées

(7) k{a)^iki(a)^{—iy"-ik,{a) (mod/^.

Soit particulièrement a=:2, nous aurons, en vertu de la formule (2) du paragraphe XVI,

(8) A-,(-.)==i-ii^^pLiîi^ =T„,,

où T,„ est le m'*'"* coefficient des tangentes, ce qui donnera, en vertu

de (7),

(9) A:(>.) = 2Â-,(2)^(-i)'"-iT„. (modp). Revenons maintenant à la congruence (2), savoir

puis remarquons que la formule (4) donnera

,3/,,^ /z j ii^3p ki(ii)-h 3pUc]{a)-i- p3 A'^ia)],

il résulte, en vertu de (4),

(lo) 2^ - j = 3rt'"— rt»'" (mo<l/>').

Nous aurons de même

(11) 8( - ) = i5a"'— ioa3"'-f- 3a5"» (mot!/)»),

et ainsi de suite.

ifio TROISIÈME PARTIE. --- APPLICATIONS SLR LA THÉORIE DES NOMBRES.