XC. — Expressions explicites de première espèce

La définition des quotients de Fermât nous permet de transformer les deux nombres

(|uc nous avons appliqués plusieurs fois dans nos recherches précédentes.

En effet, soit p un nombre entier impair, tandis que le positif entier a n'est pas divisible par p, nous aurons, en vertu de la définition du quotient de Fermât,

(]) pa" k{a) = a''+/'-< — rt",

ce qui donnera en vertu des définitions (i) et (a),

(4) P 2 ^-n'(^\ yp-'S-^Y^p-s~l) = x'l^Jl-^-.^^,,

d'où, particulièrement pour n = o,

(G) P 2 (~'>'V , 'JA(y.-5-. ) = (;.-. )!-+-r

(7) p 2 (^~')l^ip-s-^) = \',\-'-pk{'^),

car nous aurons

CUVP. XIX. — LES OloriKNTS DE KERMAT. >()

Cela posé, nous aurons les deux oongruences

(S) (/> — !)!-+- i = o (ino(l/>), A'Iiîsso (modp),

dont la première n'est autre chose que le théorème de Wllson c'est-à-dire que nous venons de donner une nouvelle démonstratioi de ce célèbre théorème.

Posons maintenant, pour abréger,

/, ,)! ^ , = ^, vV/„ A'>:\ = p\\',„

où Wp n'est autre chose que le quotient de Wilson, les formules ((> et (7) donnent immédiatement les expressions explicites

('I» vv;,= /.(o+ 2 (^'7')a(/>-5-.).

Appliquons ensuite les congruences évidentes (''7') -(-«>■ (mod/>), nous aurons de plus

(12) W^= 2 kip-s — i) (modp),

(i3) W'^^/.(-2)-+- 2 (-i>A(>-*-i) (mod/>);

la première de ces congruences est due à M. Lerch (')

Quant à la première des congruences susdites, posons, enveili de la formule (12) du paragraphe LXXXVIII,

(') Mathematis( he Annale/i, t. GO, iqoS, p. 473-

362 TROISIÈME l'AIlTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.

nous aurons, par conséquent,

(i5) (V„=i-H h 7 -+-... -h. (ino(l/>),

(i6) w,,^ 2 (—iy/c(p-s-i} (modp),

ce qui donnera, en vertu de (i3),

(17) \Y'f,^w,,-i-k{2) (modp).

Pour trouver maintenant une expression ex|)licile du quotient de Fermât /c (a), nous avons à appliquer la formule euléiienne (i) du j\'i4i"' paragraphe LIX, savoir

ce qui donnera le résultat bien connu

(18) ak(a)=. 2 7:(^'.r|)S/-.(«-i\ d'où, particulièrement pour « = 2,

(.9) ^'•('^)=T'kc;)-

Introduisons ensuite, dans (10), au lieu des k[p — 5 — i), les expressions correspondantes tirées de (18), nous aurons une expression explicite, mais très compliquée, pour le quotient de Wilson.

Remarquons que les formules (i8) et (19) donnent les congruences

(20) ak{a)~ V (H-ll^lî. S /,,.(« — !) (mody?),

(21) 2A-(2)= V *^~ ' •*' ~^ (mod/j),

dont la dernière est due à Eisenstein ( ' ). (') Berliner Monatsberichte, i85o, p. 71.

<;iiAi'. XIX. — i,Ks oioriiiNTS nii kkiimat. MVi

Appliquons encore l'identité évidente

fi p — a a(p — a) nous aurons